Краткое содержание лекции 3
к лекции 2
Моделирование плоскости
 
Способы задания плоскости (рис. 1.20):

1. Три точки, не лежащие на одной прямой - α(A, B, C).
2. Прямая и точка не принадлежащая этой прямой - α(N, a).
3. Две пересекающиеся или две параллельные прямые - α(m, n), α(c, d).

Рис. 1-20

Задача 1.2 Построить модель какой-либо прямой, принадлежащей плоскости α(А, В, С). Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки этой плоскости.

Алгоритм решения:

1. Проводим произвольно проекцию l1 прямой l (рис. 1.21).
2. Соединяем между собой точки A и B, B и C.
3. Отмечаем точки 11 и 21 пересечения прямой l1 с прямыми В1А1 и В1С1.
4. Отмечаем вторые проекции точек 12 и 22, через которые будет проходить вторая проекция l2 прямой l.

Рис. 1-21

Задача 1.3 Построить модель произвольно взятой точки К, принадлежащей плоскости α(А, В, С). Построение недостающей проекции точки, принадлежащей плоскости, основано на условии принадлежности этой точки прямой, лежащей в плоскости.

Алгоритм решения:

1. Отмечаем произвольно проекцию К1 точки К (рис. 1.22).
2. Через К1 проводим первую проекцию l1, прямой l, принадлежащей плоскости α.
3. Строим вторую проекция l2 прямой l (см. задачу 1.2).
4. Через точку К1 проводим линию проекционной связи и при пересечении ее с прямой l2 отмечаем искомую проекцию K2 точки К, принадлежащей прямой l, а следовательно, и плоскости α.

Рис. 1-22

 
Плоскости частного положения

Проецирующие плоскости

Плоскость, проходящая через проецирующую прямую, называется проецирующей плоскостью. Очевидно, что фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости π1 (рис. 1.23), а горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна π2. На рис. 1.23 видно, что фронтальные проекции всех элементов плоскости α(a,b) расположены на одной прямой a1. Эта прямая называется вырожденной проекцией плоскости и обладает собирательным свойством. На рис. 1.24 представлены проекции фронтально-проецирующей плоскости α и горизонтально-проецирующей плоскости β.

Рис. 1-23

Рис. 1-24
На рис. 1.25 изображена плоскость α, параллельная горизонтальной плоскости проекций. Треугольник ABC, принадлежащий плоскости α, на плоскость π2 будет проецироваться без искажения, т.е. по горизонтальной проекции треугольника можно судить об его истинных размерах. На рис. 1.26 представлены проекции плоскости уровня α, параллельной плоскости π2, и плоскости β, параллельной плоскости π1.

Рис. 1-25

Рис. 1-26
 
Моделирование кривой линии
 
Кривую линию можно рассматривать как траекторию движущейся точки или как совокупность точек, обладающих каким-либо общим для них свойством. Кривая линия может являться результатом взаимного пересечения поверхностей. Кривая линия может быть плоской или пространственной. Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такая линия называется плоской. Кривая линия, которая не может быть совмещена с плоскостью всеми своими точками, называется пространственной, например винтовая линия. Моделью кривой линии в общем случае является пара кривых линий f(f1, f2) (рис. 1.27 а).

В частном случае, когда плоская кривая принадлежит проецирующей плоскости, она моделируется прямой и кривой линией (рис. 1.27 б). Построение произвольной точки M, принадлежащей кривой линии f , выполняется по тем же правилам, как и для прямой линий.

Рис. 1-27
Моделирование замкнутой кривой

При моделировании замкнутой кривой линии нужно учитывать то, что порядок следования точек сохраняется. Кривая на эпюре Монжа задается двумя проекциями и точкой В (рис. 1.28) или двумя проекциями и направлением обхода (рис. 1.29).

Рис. 1-28

Рис. 1-29
Порядок кривой линии

Наибольшее число точек пересечения плоской кривой с прямой линией определяет порядок плоской кривой. Наибольшее число точек пересечения пространственной кривой линии с плоскостью определяет порядок пространственной кривой.

Рассмотрим некоторые кривые линии, наиболее широко применяемые на практике. Среди плоских кривых линий особого внимания заслуживают кривые второго порядка в виду их широкого применения в ряде разделов физики, в астрономии, механике, архитектуре и других областях науки и техники. Известно, например, что планеты движутся по эллипсам. Траекториями движения твердого тела могут быть эллипс и парабола. Направленные под углом к горизонту снаряды, неуправляемые баллистические ракеты движутся по параболам.
 
Кривые второго порядка

Кривые второго порядка называются коническими сечениями, так как они могут быть получены при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостью. В зависимости от положения секущей плоскости σ по отношению к образующим конуса получаются различные кривые второго порядка:

- эллипс или окружность, когда плоскость пересекает все образующие (эти линии не имеют несобственных точек) (рис. 1.30 а);
- парабола, когда секущая плоскость параллельна одной образующей (парабола имеет одну несобственную точку) (рис. 1.30 б);
- гипербола, когда плоскость параллельна двум образующим (гипербола имеет две несобственные точки) (рис. 1.30 в);
- кривая, распавшаяся на пару прямых, когда плоскость проходит через вершину конуса.

При параллельном проецировании проекцией эллипса и окружности является эллипс или, в частном случае, окружность, проекцией параболы является парабола, проекцией гиперболы – гипербола.

Рис. 1-30

Винтовая линия

Из пространственных кривых линий широкое применение, в инженерной практике получила цилиндрическая винтовая линия, представляющая собой траекторию движения точки, которая равномерно вращается вокруг некоторой оси i и одновременно перемещается вдоль этой оси с постоянной скоростью (рис. 1.31). Величина перемещения точки в направлении оси i, соответствующая одному полному обороту вокруг оси, называется шагом винтовой линии. Репер винтовой линии состоит из величины шага p и радиуса R.

Рассмотрим пример построения модели винтовой линии f (f1, f2) на эпюре Монжа.

Задача. Построить модель винтовой линии f (f1, f2).

Алгоритм решения:

1. Проведем ось вращения i (i1, i2) перпендикулярно плоскости проекций π2.
2. В первом поле на i1 отложим величину шага p, а во втором поле из центра i2 проведем окружность радиуса R, которая является второй проекцией f2 винтовой линии f.
3. Разделим окружность f2 на одинаковое количество равных частей (в данном случае - на 8); интервал шага p также разделим на 8 равных частей.
4. Через точки деления окружности 12, 22, ..., 82 проводим линии проекционной связи.
5. Находим первые проекции точек деления окружности 11 – 81.
6. Соединяем последовательно точки 11 – 81 и получаем первую проекцию винтовой линии f1.

Рис. 1-31