Lecture # 3 (to be translated)
The Plane Modeling
 
The methods of plane definition (fig. 1.20):

1. The three noncolinear points - α(A, B, C).
2. The line and the noncoincident point - α(N, a).
3. Two crossing or two parallel lines - α(m, n), α(c, d).

Fig. 1-20

Task # 1.2 Define the model of any straight line, coincident with the plane α(А, В, С).

The straight line is coincident with the plain if it is coincident with two nonequal points of this plane.

Algorithm:

1. Draw an arbitary projection l1 of the line l (fig. 1.21).
2. Connect to each other points A and B, B and C with lines.
3. Sign points 11 and 21 of line l1 section with lines В1А1 and В1С1.
4. Sign the second projections of points 12 and 22. Both points define the second projection l2 of line l.

Fig. 1-21

Task # 1.3 Define the model of an arbitary point К, that is coincident with a plane α(А, В, С).

The construction of missing point's projection, that is coincident with the plane, is based on the clause of coincidence this point with some line, that is coincident with the plane itself.

Algorithm:

1. Set an arbitary projection К1 of the point К anywhere (fig. 1.22).
2. Через К1 проводим первую проекцию l1, прямой l, принадлежащей плоскости α.
3. Define the second projection l2 of the line l (см. задачу 1.2).
4. Через точку К1 проводим линию проекционной связи и при пересечении ее с прямой l2 отмечаем искомую проекцию K2 точки К, принадлежащей прямой l, а следовательно, и плоскости α.

Fig. 1-22

 
The planes of special positioning

Projective planes

The plane, that is coincident with the projective line, is called as projective plane. It's obvisual, that the frontal-projective plane is perpendicular with the plane π1 (fig. 1.23), and horizontal-projective plane is perpendicular with the plane π2. The fig. 1.23 shows, that frontal projections of all elements of the plane α(a,b) are situated on a single line a1. This line is called as plane's degenerative projection and possess a collective property. The fig. 1.24 represents frontal-projective image of a plane α and horizontal-projective image of a plane β.

Fig. 1-23

Fig. 1-24
The fig. 1.25 represents the plane α, that is parallel with the horizontal plane of projections. The triangle ABC, that belongs to the plane α, would be projected at a plane π2 without any distortions. So it is possible to estimate the initial spape an size of triangle by the means of its image. The fig. 1.26 represent the projections of level-plane α, that is parallel with π2, and plane β, that is parallel with π1.

Fig. 1-25

Fig. 1-26
 
The Curved Line Modeling
 
It is possible to determine the curved line, like a trajectory of a moving point, or like a set of points, unified with some common property. The curved line also can be defined like the mutual cross-section of two surfaces. All curved lines are classified as planar or volumetric. Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такая линия называется плоской. Кривая линия, которая не может быть совмещена с плоскостью всеми своими точками, называется пространственной, например винтовая линия. Моделью кривой линии в общем случае является пара кривых линий f ( f1, f2 ) (fig. 1.27 а).

В частном случае, когда плоская кривая принадлежит проецирующей плоскости, она моделируется прямой и кривой линией (fig. 1.27 б). Построение произвольной точки M, принадлежащей кривой линии f , выполняется по тем же правилам, как и для прямой линий.

Fig. 1-27
The closed curve modeling

While modeling the curved line it is necessary to take in account, that the order of points sequense is in keeping. The curved line is defined as its two projections and a projections of incidental point В (fig. 1.28) or as two projections and order direction (fig. 1.29).

Fig. 1-28

Fig. 1-29
Порядок кривой линии

Наибольшее число точек пересечения плоской кривой с прямой линией определяет порядок плоской кривой. Наибольшее число точек пересечения пространственной кривой линии с плоскостью определяет порядок пространственной кривой.

Рассмотрим некоторые кривые линии, наиболее широко применяемые на практике. Среди плоских кривых линий особого внимания заслуживают кривые второго порядка в виду их широкого применения в ряде разделов физики, в астрономии, механике, архитектуре и других областях науки и техники. Известно, например, что планеты движутся по эллипсам. Траекториями движения твердого тела могут быть эллипс и парабола. Направленные под углом к горизонту снаряды, неуправляемые баллистические ракеты движутся по параболам.
 
Conics

Кривые второго порядка называются коническими сечениями, так как они могут быть получены при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостью. В зависимости от положения секущей плоскости σ по отношению к образующим конуса получаются различные кривые второго порядка:

- эллипс или окружность, когда плоскость пересекает все образующие (эти линии не имеют несобственных точек) (fig. 1.30 а);
- парабола, когда секущая плоскость параллельна одной образующей (парабола имеет одну несобственную точку) (fig. 1.30 б);
- гипербола, когда плоскость параллельна двум образующим (гипербола имеет две несобственные точки) (fig. 1.30 в);
- кривая, распавшаяся на пару прямых, когда плоскость проходит через вершину конуса.

При параллельном проецировании проекцией эллипса и окружности является эллипс или, в частном случае, окружность, проекцией параболы является парабола, проекцией гиперболы – гипербола.

Fig. 1-30

Helix

Из пространственных кривых линий широкое применение, в инженерной практике получила цилиндрическая винтовая линия, представляющая собой траекторию движения точки, которая равномерно вращается вокруг некоторой оси i и одновременно перемещается вдоль этой оси с постоянной скоростью (fig. 1.31). Величина перемещения точки в направлении оси i, соответствующая одному полному обороту вокруг оси, называется шагом винтовой линии. Репер винтовой линии состоит из величины шага p и радиуса R.

Let's observe the example of helix f(f1, f2) description by the means og Monge diagram.

Task. Compile the model of helix f(f1, f2).

Algorithm:

1. Draw an axis i (i1, i2) rectangular with the plane π2.
2. В первом поле на i1 отложим величину шага p, а во втором поле из центра i2 проведем окружность радиуса R, которая является второй проекцией f2 винтовой линии f.
3. Let's divide the circle f2 as a set of equal arcs (for exampe, eight parts); the interval of a helix step p would be also divided into eight equal parts.
4. Draw the linkage lines trough the circle subdivision points 12, 22, ..., 82.
5. Determine the first projections of circle subdivision points 11 till 81.
6. Connect to each other points 11 till 81 and get the first projection of helix f1.

Fig. 1-31