Построение двух взаимно перпендикулярных линий является исключительно важной практической задачей, поскольку перпендикуляр - это основа для определения кратчайшего расстояния между двумя объектами, то есть средство измерения расстояний в заданном направлении. Рассмотрим, каким образом можно промоделировать прямой угол, образованный двумя пересекающимися прямыми, средствами эпюра Монжа.

Несложно понять, что угол, образованный двумя пересекающимися прямыми, произвольным образом расположенными по отношению к любой из плоскостей проекций, при параллельном проецировании отобразится на этой плоскости не в натуральную величину. То есть угол между проекциями заданных прямых не будет равен истинному углу между самими исходными прямыми. И лишь только в том случае, если плоскость, заданная пересекающимися прямыми окажется параллельной плоскости проекций, то тогда величины исходного угла и угла между проекциями линий будут совпадать.

Однако прямой угол между двумя прямыми может отобразиться на плоскость проекций в виде прямого угла и в некоторых других случаях. Для того чтобы понять, какими возможностями мы можем располагать при моделировании прямого угла, для начала расположим этот угол в плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций, скажем π2. Тогда угол между проекциями прямых a2 и b2 будет в точности равен равен девяноста градусам. Первые же проекции прямых a и b на плоскость π1 - a2 и b2 сольются в одну прямую и не покажут нам истинное значение угла между прямыми a и b.

Зафиксируем теперь положение одной из прямых, скажем, положение прямой a и начнем вращать вокруг нее плоскость, образованную прямыми a и b. Мы обнаружим любопытное свойство. Оказывается, что независимо от наклона плоскости (a и b) угол между проекциями прямых a2 и b2 все равно будет оставаться равным девяноста градусам и лишь только в том случае, когда прямая b станет перпендикулярной π2, угол выродится в одну прямую. Во время такого вращения угол между проекциями прямых a1 и b1 начнет изменяться, но характеризовать истинное значение угла меду прямыми a и b не будет.

Из проведенных наблюдений можно сделать простой вывод: для того чтобы задать на эпюре Монжа две ваимно перпендикулярные прямые, нужно провести одну из прямых таким образом, чтобы она являлась линией уровня. В той проекции, где линия уровня отображается в натуральную величину, проекция второй стороны прямого угла обязана быть перпендикулярной к проекции линии уровня. Противоположные же проекции прямого угла могут пересекаться под любым углом. Как бы мы их ни провели, все равно угол между исходными прямыми окажется прямым. От угла между этими проекциями зависит наклон плоскости, заданной исходными прямыми, но не угол между ними.

Теперь это свойство можно применить для решения двух важных практических задач: для определения расстояния между точкой и плоскостью и для определения расстояния от точки до прямой.

Пусть в пространстве задана точка A и плоскость α. Необходимо найти расстояние между точкой A и плоскостью α.

Плоскость α может быть промоделирована на эпюре Монжа любым из доступных и изученных нами способов. Поскольку построение прямых углов связано с использованием линий уровня, то, естественно, сразу задать плоскость двумя такими линиями - фронталью и горизонталью. Если же плоскость задана каим-либо другим способом, то не составит особого труда построить в этой плоскости любые фронталь f и горизонталь h: они понадобятся нам при построении перпендикуляра.

Теперь необходимо вспомнить, что прямая будет перпендикулярной к плоскости тогда, когда она окажется перпендикулярной сразу к двум любым непараллельным прямым этой плоскости. Выберем в качестве таких прямых фронталь f и горизонталь h.

Сначала построим первую (фронтальную) проекцию перпендикуляра p. Линия p по условию задачи перпендикулярна к f. Поскольку f - это линия уровня, а ее проекция f1 изображается в натуральную величину, то проекция перпендикуляра p1 должна быть проведена из проекции A1 перпендикулярно к f1. При этом вторая проекция перпендикуляра p2 могла бы быть проведена из A2 произвольно, если бы нас интересовал только перпендикуляр по отношению к прямой f. Но нам необходимо обеспечить и второе условие - перпендикулярность p к h.

Отсутствие каких-либо ограничений на положение проекции p2 позволяет нам перейти к рассмотрению второй части задачи - построению второй (горизонтальной) проекции перпендикуляра p. Поскольку h - это тоже линия уровня, а ее проекция h2 изображается в натуральную величину, то проекция перпендикуляра p2 должна быть проведена из проекции A2 перпендикулярно к h2. При этом первая проекция перпендикуляра p1 могла бы быть проведена из A1 произвольно, но она уже и так построена. Поэтому построение перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость α выполнено.

Сформулируем теперь окончательное правило построения перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Оно состоит из двух частей:

1. Фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной (первой) проекции фронтали.
2. Горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной (второй) проекции горизонтали.

Для определения расстояния от точки A до плоскости α необходимо построить точку пересечения B линии p с плоскостью α. Такая задача уже была нами рассмотрена ранее. Зная теперь A и B, можно построить отрезок AB и измерить его истинную величину, например, методом прямоугольного треугольника.

Данная задача тесно связана с только что рассмотренной. Сформулируем ее.

Пусть в пространстве задана точка A и прямая t. Необходимо найти расстояние между точкой A и прямой t.

Решим задачу, выполнив следующие действия:

1. Построим плоскость α, проведя ее через точку A перпендикулярно прямой t.
2. Найдем точку пересечения B прямой t с плоскостью α.
3. Измерим величину отрезка AB.

Поскольку прямая t перпендикулярна к плоскости α, то имеет смысл задать плоскость α фронталью и горизонталью, проведенными через точку A и перпендикулярными к t.

Построим фронталь. Проекция f1 должна быть проведена из A1 перпендикулярно к t1, в то время как f2 должна быть проведена из A2 параллельно оси проекций x12.

Теперь построим горизонталь. Проекция h2 должна быть проведена из A2 перпендикулярно к t2, в то время как h1 должна быть проведена из A1 параллельно оси проекций x12. Тем самым плоскость, проведенная через точку A перпендикулярно к прямой t задана.

Для определения расстояния от точки A до прямой t необходимо найти точку пересечения прямой B с плоскостью α. Это делается точно так же, как и в предыдущей задаче.

При помощи двух перпендикуляров, опущенных из одной точки на две пересекающиеся плоскости можно легко определить угол между этими плоскостями, поскольку он будет равен углу между построенными перпендикулярами.

Поскольку перпендикуляр, опущенный на плоскость требует построения в этой плоскости фронтали и горизонтали, то эти линии, безусловно надо построить в первую очередь. Очень удобно строить перпендикуляры, если плоскости исходно заданы фронталями и горизонталями, например следами.

Выберем в пространстве произвольную точку A и опустим из нее перпендикуляр p на плоскость α и перпендикуляр q на плоскость β. Тогда в соответствии с изученным правилом построения перпендикуляров имеем:

1. p1 ~ A1; p1 ⊥ f1;
2. p2 ~ A2; p2 ⊥ h2;
3. q1 ~ A1; q1 ⊥ m1;
4. q2 ~ A2; q2 ⊥ n2.

Угол, образованный прямыми p и q при вершине A в проекциях, разумеется, не будет отображаться в истинную величину. Но теперь прямые p и q можно преобразовать методом ДОП, для того чтобы получить истинную величину угла. Построение, которое необходимо выполнить для этой цели, подробно рассмотрено в задаче 3.4.

Угол между двумя плоскостями можно измерить, выполнив преобразование плоскостей методом ДОП. Этот способ целесообразно использовать, если плоскости заданы так, что одна их прямая является общей для каждой из плоскостей. В таких случаях говорят, что задан двугранный угол.

Идея построения состоит в следующем: нужно преобразовать общую прямую двух плоскостей методом ДОП такми образом, чтобы в одном из полей она была изображена, как точка. В этом случае исходные плоскости выродятся в две прямые линии, пересекающиеся в этой точке. Угол, который окажется меньше или равен 90 градусам, выбранный из двух смежных углов пересечения полученных прямых, принимают за угол между двумя плоскостями.

В общих чертах определение истинной величины угла между двумя плоскостями сводится к следующим несложным действиям:

1. Преобразуем общую прямую BC двух плоскостей в линию уровня. Для этого проводим ось между одним из заданных полей и новым третьим полем (например ось x23) таким образом, чтобы она была параллельной соответственной проекции прямой линии. Построив третью проекцию прямой, убеждаемся в том, что она является линией уровня в системе полей (π2-π3).
2. Выполним также и перевод точек A и D в третье поле с получением проекций A3 и D3.
3. Зададим систему полей проекций (π3-π4), проведя ось x34 таким образом, чтобы она была перпендикулярна третьей проекции преобразуемой прямой B3C3: x34 ⊥ B3C3.Тогда в четвертом поле получим совпдение точек B4 и C4.
4. Выполним также и перевод точек A и D в четвертое поле с получением проекций A4 и D4. Тогда углом между плоскостями будет угол A4B4D4 (или A4С4D4), если этот угол меньше или равен 90 градусам. Если же угол окажется больше 90 градусов, то угол между плоскостями будет равен смежному с полученным углом углу, то есть 180 - A4B4D4.

Решение задачи можно было бы вести и в сторону построения полей в системе проекций (π1-π3). Результат получился бы тот же. Выбор того или иного направления обусловлен лишь соображениями удобства.

Определение истинной величины угла между прямой линией и плоскостью тоже можно легко осуществить, используя правила построения перпендикуляра к плоскости.

Пусть нам заданы плоскость α и прямая t, пересекающая эту плоскость. Углом между прямой и плоскостью считают угол образованный прямой и ее ортогональной проекцией на заданную плоскость. Но определение такого угла на эпюре Монжа не всегда оказывается удобным, поскольку угол, образованный прямой и ее проекцией будет отображаться на плоскость проекций в натуральную величину только в том случае, если эти линии образуют плоскость, параллельную плоскости

Пусть в пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Построим отрезок, кратчайшим образом соединяющий эти две прямые.