Пересечение окружностей
1

Изобразим на плоскости две окружности. Построим их так, чтобы они пересекались в двух точках. Для выполнения этих действий загрузим систему Симплекс, откроем новый проект и в окне алгоритма Главный с помощью функции Свободная окружность последовательно вычертим две пересекающиеся окружности.
Окружность d1 задана координатами центра -204 , -19 и радиусом 228 .
Окружность d2 задана координатами центра 71 , 104 и радиусом 155 .
   
 

Рис. 1
   
2 Переключимся в режим выделения объектов, кнопкой , поместив курсор над местом пересечения окружностей, нажмем на левую кнопку мыши. Это действие позволит выделить обе окружности одновременно, в результате чего они отобразятся на экране утолщенной линией.
   
 

Рис. 2
   
3 Нажмем на клавиатуре клавишу с латинским символом p. В результате будут построены две точки пересечения окружностей.
 
Точки p1 и p2 есть пересечение окружностей d1 и d2 .
   
 

Рис. 3
   
4 Не снимая выделения с точек (т.е. не выполняя никаких дополнительных действий с курсором), нажмем на клавиатуре клавишу с латинским символом o, а затем с цифрой 8, для того чтобы построить прямую, проходящую через две точки пересечения окружностей и указать, что данная прямая является бесконечной.
   
 

Рис. 4
   
5 Понятно, что прямая o1 может быть построена с помощью циркуля и линейки лишь в том случае, если исходные окружности пересекаются явно. Если же сместить центр одной из них так, что окружности перестанут пересекаться, то исчезнет и прямая o1, проходящая через "исчезнувшие" точки p1 и p2.
   
 

Рис. 5
  Пример
   
6

Покажем теперь, что прямая, которая проходит через точки пересечения двух окружностей обладает более глубокими геометрическими свойствами и может существовать даже в том случае, если окружности не пересекаются. Это означает, что такая прямая, в известном смысле, не определяется двумя точками явного пересечения окружностей.

Построим теперь две исходные окружности d1 , d2 , которые не пересекаются явным образом.
 
Окружность d1 задана координатами центра -221 , 12 и радиусом 118 .
 
Окружность d2 задана координатами центра 198 , 137 и радиусом 135 .
   
 

Рис. 6
   
7 Добавим к чертежу третью окружность d3 , которая будет пересекать и первую d1 и вторую d2 окружности. Заметим, что это всегда можно сделать, например, поместив одну дополнительную точку p1 во внутреннюю область первой окружности d1, вторую - p2 во внутреннюю область второй окружности d2 , а третью - p3 , взяв произвольно. Окружность d3 , проведенная через точки p1 , p2 , p3 будет пересекать обе исходные окружности - d1 , d2 .
   
 
Точка p1 задана координатами -201 и -71 .
 
Точка p2 задана координатами 220 и 32 .
 
Точка p3 задана координатами 380 и -18 .
  Окружность d3 проведена через точки p1 , p2 и p3 .
   
 

Рис. 7
   
8 Построим точки p5 , p4 пересечения первой d1 и третьей d3 окружностей, проведем через них бесконечную прямую линию o1 ; затем точки p6 , p7 пересечения второй d2 и d3 третьей окружности и проведем через них прямую линию o2.
 
Точки p4 и p5 есть пересечение окружностей d1 и d3 .
 
Прямая o1 задана точками p5 и p4 .
 
Точки p6 и p7 есть пересечение окружностей d2 и d3 .
 
Прямая o2 задана точками p7 и p6 .
   
 

Рис. 8
   
9 Найдем точку p8 пересечения прямых o1 и o2 .
  Точка p8 есть пересечение прямых o1 и o2 .
   
 

Рис. 9
   
10 Соединим центры p9, p10 первой d1 и второй d2 окружностей соответственно прямой линией o3 и опустим на нее перпендикуляр o4 из точки p8.
   
 
Точка p9 есть центр объекта d1 .
 
Точка p10 есть центр объекта d2 .
 
Прямая o3 задана точками p10 и p9 .
 
Прямая o4 проведена через точку p8 под углом rect к прямой o3 .
   
 

Полученная линия o4 носит название радикальной оси двух окружностей d1 , d2 . В случае явного пересечения исходных окружностей радикальная ось проходит через точки их пересечения. Однако она существует и в том случае, если окружности не пересекаются.

Наиболее интересное свойство этой радикальной прямой заключается в том, что из любой точки, расположенной на ней, на обе окружности можно опустить касательные одинаковой длины. Это означает, что можно построить окружность d4 с центром в такой точке p11 , и она пройдет через все четыре точки p12, p13 , p14, p15 касания прямых o5 , o6 , o7 , o8 , опущенных на исходные окружности d1 , d2 . Причем полученная окружность окажется перпендикулярной как к исходным окружностям, так и к самой радикальной прямой. Выполним это построение.
   
 
Точка p11 принадлежит объекту o4 с параметром принадлежности 2.8090925 .
 
Точка касания p12 на окружности d1 и касательная o5 из точки p11 .
 
Точка касания p13 на окружности -d1 и касательная o6 из точки p11 .
 
Точка касания p14 на окружности d2 и касательная o7 из точки p11 .
 
Точка касания p15 на окружности -d2 и касательная o8 из точки p11 .
 
Окружность d4 задана центром p11 и точкой p13 .
   
 

Рис. 10
   
11 Нетрудно заметить, что равно как прямая o4 является радикальной осью пары окружностей d1-d2, так и прямая o1 является радикальной осью пары окружностей d1-d3, а прямая o2 является радикальной осью пары окружностей d2-d3. Все три радикальные оси o4, o1, o2 тройки окружностей d1, d2 , d3 переcекаются в одной и той же точке p8 , которая носит название радикального центра трех окружностей. Поскольку радикальный центр един для всех трех осей, то это означает, что из него можно опустить равные касательные o10 , o14 , o9 , o12 , o13 , o11 на окружности d1 , d2, d3 , а сам он является центром окружности d5, перпендикулярной ко всем трем исходным окружностям.
   
 
Точка касания p16 на окружности d1 и касательная o9 из точки p8 .
 
Точка касания p17 на окружности -d1 и касательная o10 из точки p8 .
 
Точка касанияp18 на окружности d2 и касательная o11 из точки p8 .
 
Точка касания p19 на окружности -d2 и касательная o12 из точки p8 .
 
Точка касания p20 на окружности d3 и касательная o13 из точки p8 .
 
Точка касания p21 на окружности -d3 и касательная o14 из точки p8 .
 
Окружность d5 задана центром p8 и точкой p16 .
   
 

Рис. 11
   
12 Следует обратить внимание на следующее свойство: окружности d4 , d5 и прямая линия o3 пересекаются в одной и той же паре точек вне зависимости от положения точки p11 . Иными словами, такие две точки задают однопараметрический пучок окружностей, представителями которых являются d4, d5 , o3 , причем прямая o3 является одним из элементов этого пучка, поэтому она также может быть причислена к окружностям как элемент единого множества.
   
  Пример