ЗАНЯТИЕ ПЯТОЕ

МЕТОД ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Приступим к моделированию исходного цилиндра. Вершина цилиндра удалена в бесконечность и представлена на эпюре Монжа точкой F:F1-F2. Для задания бесконечно удаленной точки воспользуемся функцией Несобственная точка. После вызова функции следует перевести курсор в окно построения алгоритма и, нажав левую кнопку мыши, переместить курсор в направлении, указывающем на бесконечно удаленную точку. После отпускания кнопки в окне образуется стрелка, обозначающая бесконечно удаленную точку. Положение такой точки можно динамически корректировать с помощью инструмента .
Несобственная точка <F1> задана направлением <65.36>. Согласование "Простое".
Несобственная точка <F2> задана направлением <-53.74>. Согласование "Простое".	Рисунок 1
Зададим плоскость основания будущего цилиндра (и конуса) линией o4.
Прямая <o4> задана координатами двух точек: X1=<-162.6>, Y1=<22.2>, X2=<254.6>, Y2=<22.2>. Согласование "Простое".	Рисунок 2
Зададим с помощью линии o5 линию связи для точки центра нижнего основания цилиндра.
Прямая <o5> задана координатами двух точек: X1=<-80>, Y1=<-34.5>, X2=<-80>, Y2=<65.5>. Согласование "Простое".	Рисунок 3
Зададим с помощью линии o6 линию связи для точки центра верхнего основания цилиндра.
Прямая <o6> задана координатами двух точек: X1=<50>, Y1=<-246.5>, X2=<50>, Y2=<-146.5>. Согласование "Простое".	Рисунок 4
Укажем на линии связи положение второй проекции точки центра нижнего основания цилиндра точкой p5.
Точка <p5> принадлежит объекту <o5> с параметром принадлежности <-0.34>. Согласование "Простое".	Рисунок 5
Точкой p6 задано положение первой проекции точки центра нижнего основания цилиндра.
Точка <p6> есть пересечение прямых <o5> и <o4>. Согласование "Простое".	Рисунок 6
Вычерчиваем нижнее основание цилиндра (окружность d2).
Окружность <d2> задана центром <p5> и радиусом <50.25>. Согласование "Простое".	Рисунок 7
Проведем вторую проекцию оси цилиндра o12 через вторую проекцию точки центра p5 основания и вторую проекцию вершины цилиндра F2.
Прямая <o12> задана точками <p5> и <F2>. Согласование "Простое".	Рисунок 8
Аналогичным приемом построим первую проекцию оси цилиндра o13.
Прямая <o13> задана точками <p6> и <F1>. Согласование "Простое".	Рисунок 9
Для построения точек p14 и p15, определяющих первую проекцию нижнего основания цилиндра, выполним следующие действия:
Прямая <o8> задана точкой <p5> и углом <0> к оси OX. Согласование "Простое".	Рисунок 10
Точки <p10> и <p11> есть пересечение прямой <o8> и окружности <d2>. Согласование "Простое".	Рисунок 11
Точка <p14> есть проекция точки <p10> на прямую <o4>. Согласование "Простое".	Рисунок 12
Точка <p15> есть проекция точки <p11> на прямую <o4>. Согласование "Простое".	Рисунок 13
Найдем первую (p22) и вторую (p23) проекцию точки центра верхнего основания цилиндра.
Точка <p22> есть пересечение прямых <o6> и <o13>. Согласование "Простое".	Рисунок 14
Точка <p7> есть пересечение прямых <o12> и <o6>. Согласование "Простое".	Рисунок 15
Вычертим вторую проекцию верхнего основания цилиндра – окружность d3.
Величина <c1> есть радиус окружности <d2>. Согласование "Простое". Окружность <d3> задана центром <p7> и радиусом <c1>. Согласование "Простое".	Рисунок 16
Определим плоскость верхнего основания цилиндра (линия o11).
Прямая <o11> задана точкой <p22> и углом <0> к оси OX. Согласование "Простое".	Рисунок 17
Построим очерковые образующие цилиндра во втором поле (линии o18, o19).
Прямая <o18> касается окружностей <d3> и <d2> в точках <p1> и <p2>. Согласование "Простое".	Рисунок 18
Прямая <o19> касается окружностей <d2> и <d3> в точках <p20> и <p21>. Согласование "Простое".	Рисунок 19
Проведем отрезок o21, изображающий первую проекцию нижнего основания цилиндра.
Прямая <o21> задана точками <p15> и <p14>. Согласование "Простое".	Рисунок 20
Проведем вторую проекцию оси верхнего основания цилиндра o7.
Прямая <o7> задана точкой <p7> и углом <0> к оси OX. Согласование "Простое".	Рисунок 21
Для построения точек p18 и p19, определяющих верхнее основание, цилиндра выполним следующие действия:
Точки <p16> и <p17> есть пересечение прямой <o7> и окружности <d3>. Согласование "Простое".	Рисунок 22
Точка <p18> есть проекция точки <p16> на прямую <o11>. Согласование "Простое".	Рисунок 23
Точка <p19> есть проекция точки <p17> на прямую <o11>. Согласование "Простое".	Рисунок 24
Построим очерковые образующие цилиндра в первом поле (линии o14, o15).
Прямая <o14> задана точками <p15> и <p19>. Согласование «Простое».	Рисунок 25
Прямая <o15> задана точками <p14> и <p18>. Согласование "Простое".	Рисунок 26
Строим верхнее основание цилиндра в первом поле (линия o20).
Прямая <o20> задана точками <p19> и <p18>. Согласование "Простое".	Рисунок 27
Итак, цилиндр задан. Приступаем к построению конуса. Зададим положение линии связи вершины конуса (o1).
Прямая <o1> задана координатами двух точек: X1=<-122.4>, Y1=<6>, X2=<-122.4>, Y2=<106>. Согласование "Простое".	Рисунок 28
Линией о2 задано положение линии связи для указания точки центра основания конуса.
Прямая <o2> задана координатами двух точек: X1=<137.3>, Y1=<-125>, X2=<137.3>, Y2=<-25>. Согласование "Простое".	Рисунок 29
Точка p2 указывает положение второй проекции точки центра основания конуса.
Точка <p4> принадлежит объекту <o2> с параметром принадлежности <0.385>. Согласование "Простое".	Рисунок 30
Точка Т1 указывает положение первой проекции точки вершины конуса.
Точка <T1> принадлежит объекту <o1> с параметром принадлежности <2.38>. Согласование "Простое".	Рисунок 31
Точка Т2 указывает положение второй проекции точки вершины конуса.
Точка <T2> принадлежит объекту <o1> с параметром принадлежности <-2.09>. Согласование "Простое".	Рисунок 32
Строим вторую проекцию основания конуса d1 и его очерк (o16, o17).
Прямая <o3> задана точкой <p4> и углом <0> к оси OX. Согласование "Простое".	Рисунок 33
Окружность <d1> задана центром <p4> и радиусом <90.3>. Согласование "Простое".	Рисунок 34
Точка касания <p23> на окружности <d1> и касательная <o16> из точки <T2>. Согласование "Простое".	Рисунок 35
Точка касания <p24> на окружности <-d1> и касательная <o17> из точки <T2>. Согласование "Простое".	Рисунок 36
Строим первую проекцию основания конуса o22 и его очерк (o9, o10).
Точки <p8> и <p9> есть пересечение прямой <o3> и окружности <d1>. Согласование "Простое".	Рисунок 37
Точка <p12> есть проекция точки <p8> на прямую <o4>. Согласование "Простое".	Рисунок 38
Точка <p13> есть проекция точки <p9> на прямую <o4>. Согласование "Простое".	Рисунок 39
Прямая <o10> задана точками <T1> и <p12>. Согласование "Простое".	Рисунок 40
Прямая <o22> задана точками <p13> и <p12>. Согласование "Простое".	Рисунок 41
Прямая <o9> задана точками <T1> и <p13>. Согласование "Простое".	Рисунок 42
Вычертим осевую линию конуса (o23, o36).
Прямая <o36> задана точками <T2> и <p4>. Согласование "Простое".	Рисунок 43
Точка <p3> есть пересечение прямых <o2> и <o4>. Согласование "Простое".	Рисунок 44
Прямая <o23> задана точками <T1> и <p3>. Согласование "Простое".	Рисунок 45
Точки <p25> и <p26> есть пересечение прямой <o2> и окружности <d1>. Согласование "Простое".	Рисунок 46
Точки <p27> и <p28> есть пересечение прямой <o5> и окружности <d2>. Согласование "Простое".	Рисунок 47
Исходные данные введены приступаем к реализации алгоритма построения линии пересечения конуса и цилиндра методом дополнительных секущих плоскостей общего положения. Для того чтобы некоторая плоскость пересекала коническую (цилиндрическую поверхность) по прямой линии необходимо, чтобы такая плосоксть проходила через вершину конической (цилиндрической поверхности). Плоскость, проходящая через вершины обеих заданных поверхностей, будет пересекать и конус, и цилиндр по прямым линиям. Находясь в одной плоскости, линии, отсеченные ею на конусе и на цилиндре, будут пересекаться, образуя точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. Вершины поверхностей задают прямую, через которую проходит плоскость. Для построения первой проекции этой прямой проведем прямую o24 через первую проекцию вершины конуса T1 и через первую проекцию вершины цилиндра F1.
Прямая <o24> задана точками <T1> и <F1>. Согласование "Простое".	Рисунок 48
Точка p31 является первой проекцией точки пересечения прямой, проходящей через вершины поверхностей, с плоскостью оснований конуса и цилиндра.
Точка <p31> есть пересечение прямых <o4> и <o24>. Согласование "Простое".	Рисунок 49
Построим линию связи o25 для нахождения второй проекции этой точки.
Прямая <o25> задана точкой <p31> и углом <90> к оси OX. Согласование "Простое".	Рисунок 50
Для построения второй проекции прямой, проходящей через вершины поверхностей, проведем прямую o26 через вторую проекцию вершины конуса T2 и через вторую проекцию вершины цилиндра F2
Прямая <o26> задана точками <T2> и <F2>. Согласование "Простое".	Рисунок 51
Находим вторую проекцию p32 точки пересечения прямой с плоскостью оснований поверхностей.
Точка <p32> есть пересечение прямых <o25> и <o26>. Согласование "Простое".	Рисунок 52
Начинаем построение множества плоскостей, проходящих через прямую (o24-o26). Пусть число n задает количество таких плоскостей.
Точки <p29> и <p30> есть пересечение прямой <o6> и окружности <d3>. Согласование "Простое".  Величина <n> есть <10>. Согласование "Простое".	Рисунок 53
Вращаясь вокруг прямой (o24-o26), плоскости пересекают плоскость проекций p2. Зададим положения плоскостей с помощью следа o27, образующегося на p2. Пределы изменения положений следа подберем так, чтобы обе окружности в основаниях поверхностей находились в области, очерченной следом плоскости, например в пределах от –30 до +20 градусов наклона прямой o27 к оси OX.
Прямая <o27> задана точкой <p32> и углом <[-30~20~n]> к оси OX. Согласование "Множественное".	Рисунок 54
Найдем точки пересечения следов пучка плоскостей с линиями оснований цилиндра и конуса. (p33, p34, p35 и p36)
Точки <p33> и <p34> есть пересечение прямой <o27> и окружности <d2>. Согласование "Множественное".	Рисунок 55 Рисунок 56
Точки <p35> и <p36> есть пересечение прямой <o27> и окружности <d1>. Согласование "Множественное".	Рисунок 57 Рисунок 58
Теперь можно построить первые проекции найденных точек (p37, p38, p39, p40).
Точка <p37> есть проекция точки <p34> на прямую <o21>. Согласование "Множественное".	Рисунок 59 Рисунок 60
Точка <p38> есть проекция точки <p33> на прямую <o21>. Согласование "Множественное".	Рисунок 61 Рисунок 62
Точка <p39> есть проекция точки <p36> на прямую <o22>. Согласование "Множественное".	Рисунок 63
Точка <p40> есть проекция точки <p35> на прямую <o22>. Согласование "Множественное".	Рисунок 64 Рисунок 65
Проведем вторые проекции образующих, высеченных пучком плоскостей на поверхностях цилиндра и конуса, воспользовавшись для этого известными уже проекциями точек в основаниях поверхностей (p33, p34, p35 и p36).
Прямая <o28> задана точками <p34> и <F2>. Согласование "Множественное".	Рисунок 66
Прямая <o29> задана точками <p33> и <F2>. Согласование "Множественное".	Рисунок 67 Рисунок 68
Прямая <o30> задана точками <T2> и <p36>. Согласование "Множественное".	Рисунок 69 Рисунок 70
Прямая <o31> задана точками <T2> и <p35>. Согласование "Множественное".	Рисунок 71 Рисунок 72
Пересекая попарно вторые проекции образующих, получим вторые проекции точек пересечения конуса и цилиндра (p41, p42, p43 и p44).
Точка <p41> есть пересечение прямых <o28> и <o30>. Согласование "Простое".	Рисунок 73
Точка <p42> есть пересечение прямых <o28> и <o31>. Согласование "Простое".	Рисунок 74
Точка <p43> есть пересечение прямых <o29> и <o30>. Согласование "Простое".	Рисунок 75
Точка <p44> есть пересечение прямых <o29> и <o31>. Согласование "Простое".	Рисунок 76
	Рисунок 77
Вычертим соответственные первые проекции образующих конуса и цилиндра и построим на них с помощью линий связи, исходящих из вторых проекций точек, принадлежащих линии пересечения, соответственные им первые проекции (p45, p46, p47, p48).
Прямая <o32> задана точками <p39> и <T1>. Согласование "Множественное". Прямая <o33> задана точками <p40> и <T1>. Согласование "Множественное".	Рисунок 78
Прямая <o34> задана точкой <p43> и углом <90> к оси OX. Согласование "Множественное".	Рисунок 79 Рисунок 80
Прямая <o35> задана точкой <p44> и углом <90> к оси OX. Согласование "Множественное".	Рисунок 81 Рисунок 82
Точка <p45> есть пересечение прямых <o33> и <o35>. Согласование "Простое".	Рисунок 83 Рисунок 84
Точка <p46> есть пересечение прямых <o32> и <o34>. Согласование "Простое".	Рисунок 85 Рисунок 86
Прямая <o37> задана точкой <p42> и углом <90> к оси OX. Согласование "Множественное".	Рисунок 87 Рисунок 88
Прямая <o38> задана точкой <p41> и углом <90> к оси OX. Согласование "Множественное".	Рисунок 89 Рисунок 90
Точка <p47> есть пересечение прямых <o33> и <o37>. Согласование "Простое".	Рисунок 91
Точка <p48> есть пересечение прямых <o38> и <o32>. Согласование "Простое".	Рисунок 92
	Рисунок 93 Рисунок 94
Теперь следует соединить одноименные точки фрагментов линии пересечения конуса и цилиндра в непрерывные ломаные линии o39, o40, o41, o42 (для первой проекции) и o43, o44, o45, o46 (для второй проекции), применяя для этой цели сдвиговое согласование.
Прямая <o39> задана точками <p48> и <p48>. Согласование "Сдвиговое".	Рисунок 95
Прямая <o40> задана точками <p47> и <p47>. Согласование "Сдвиговое".	Рисунок 96
Прямая <o41> задана точками <p45> и <p45>. Согласование "Сдвиговое".	Рисунок 97
Прямая <o42> задана точками <p46> и <p46>. Согласование "Сдвиговое".	Рисунок 98
Прямая <o43> задана точками <p41> и <p41>. Согласование "Сдвиговое".	Рисунок 99
Прямая <o44> задана точками <p42> и <p42>. Согласование "Сдвиговое".	Рисунок 100
Прямая <o45> задана точками <p43> и <p43>. Согласование "Сдвиговое".	Рисунок 101
Прямая <o46> задана точками <p44> и <p44>. Согласование "Сдвиговое".	Рисунок 102
Отправим изображения «лишних» объектов на служебный слой. Теперь можно повысить точность построения линии пересечения поверхностей, задавая различные значения n.