УДК 378.147:514.18

DOI:

Единый конструктивный алгоритм построения окружностей Мальфатти
Unified Сonstructive Algorithm for Constructing Malfatti Circles

Е.П.Бояшова ¹, Д.В.Волошинов ², Т.В.Мусаева ³

¹ СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 193232, Санкт-Петербург, Россия
² СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 193232, Санкт-Петербург, Россия
³ СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 193232, Санкт-Петербург, Россия

E.P.Boyashova ¹, D.V.Voloshinov ², T.V.Musaeva ^3
1 The Bonch-Bruevich Saint Petersburg State University of Telecommunications, 193232, St. Petersburg, Russia
² The Bonch-Bruevich Saint Petersburg State University of Telecommunications, 193232, St. Petersburg, Russia
³ The Bonch-Bruevich Saint Petersburg State University of Telecommunications, 193232, St. Petersburg, Russia

Аннотация. Статья посвящена рассмотрению нового конструктивного подхода к решению задачи о построении трех взаимно касающихся друг с другом окружностям, вписанным в треугольник, и известной под названием «задача об окружностях Мальфатти». Существующие в настоящее время методы построения таких окружностей основаны на выполнении элементарных геометрических построений, впервые предложенных Якобом Штейнером. На данную задачу обращали внимание многие исследователи, однако широкую известность получили только ее аналитические интерпретации. Данная работа направлена на поиск единых геометрических закономерностей, присущих этой задаче. Полученные результаты позволяют констатировать, что задача об окружностях Мальфатти основывается на многократном применении алгоритмов построения линий, равноудаленных к парам окружностей. Полученный алгоритм расширяет арсенал функций системы конструктивного геометрического моделирования Симплекс.

Ключевые слова: окружности Мальфатти, кривые второго порядка, алгоритмы построения коник, конструктивная геометрия, Симплекс

Abstracts: The article is devoted to the consideration of a new constructive advice for solving problems of constructing three mutual neighbors with other neighbors inscribed in a triangle, and a representation called the “Malfatti environment problem”. Currentlystra existing methods for constructing such circles are based on elementary geometric constructions first proposed by Jacob Steiner. Many researchers have paid attention to this problem, but only its analytical interpretations have become widely known. This work is aimed at searching for uniform geometric patterns inherent in this problem. The results obtained allow us to state that the problem of Malfatti circles is based on the repeated application of algorithms for constructing lines equidistant to pairs of circles. The resulting algorithm expands the arsenal of functions of the Simplex constructive geometric modeling system.

Keywords: Malfatti circles, second order curves, algorithms for constructing conics, constructive geometry, Simplex

I. Введение

Задача о построении окружностей Мальфатти имеет относительно простую формулировку, вследствие чего многие исследователи полагают, что она может быть отнесена к разряду базовых геометрических построений. Ее сущность заключается во вписывании в треугольник трех взаимно касающихся окружностей таким образом, чтобы каждая из них касалась пары сторон треугольника. Иными словами, такие окружности должны создавать «плотную упаковку» окружностей в треугольнике.

Задача была впервые Франческо Мальфатти в 1803 году [1], но им самим решение получено не было. Геометрически задача была решена Якобом Штейнером в 1826 году с помощью простых геометрических инструментов [2], но доказательство представлено не было. Доказательство корректности решения Якоба Штейнера было выполнено Петерсоном [3]. Решение можно найти в [4, 5] и ряде других работ, посвященной тематике данной задачи. Большой вклад в решение задачи внесен в работе Беленького В.З. и Заславского А.А. [6], предложивших оригинальный подход к ее интерпретации. 

Обращает, однако, на себя внимание тот факт, что работы, посвященные решению задачи Мальфатти, так или иначе сводятся к выполнению тех или иных вычислительных действий, инициированных ее геометрической природой. В то же время исследований, посвященных исключительно конструктивному подходу, обосновывающего общую геометрическую природу этой задачи, не обнаруживается. Целью данной статьи является поиск единого конструктивного обоснования решения данной задачи.

II.  Алгоритм построения коник, равноудаленных от двух кривых, по фокусам и точке

Пусть изначально заданы две точки $F_1$  и $F_2$  – фокусы пары сопряженных кривых второго порядка и произвольная точка  плоскости $P$ ,  через которую эти кривые должны проходить (рис. 1). Для построения этой пары выполним следующие действия:

Построим отрезок прямой линии $z_1=F_1\circ F_2$ . Найдем точку $O=\text{C}\left(z_1\right)$  ‒ центр отрезка $z_1$  и проведем прямую линию $z_2:z_2\perp z_1,z_2~O$  ‒ суть ось строящихся кривых. Проведем окружность $d=F_1\circ F_2\circ P$ . Построим точки $K,L=d\times z_2$  и соединим их с точкой $P$  прямыми линиями $k=K\circ P$  и $l=L\circ P$ . Найдем точки  $A=S_{z_2}\left(P\right)$ , $B=S_{z_1}\left(A\right)$ , $C=S_{z_1}\left(P\right)$  где символами ${\text{S}}_{z_1}$   и ${\text{S}}_{z_2}$  обозначено преобразование осевой симметрии относительно прямых $z_1$  и $z_2$  соответственно. Полученные объекты позволяют провести две коники: $v=C\circ l\circ P\circ B\circ A;l~P$  и  $u=C\circ k\circ P\circ B\circ A;k~P$ , репером которых и являются две фокальные точки  $F_1$  и $F_2$  и произвольная точка плоскости $P$ .  Обратим внимание на то, что касательные к коникам в точках их пересечения перпендикулярны, вследствие чего полученные коники будем называть ортогональными. Произвольность положения точки $P$  позволяет говорить о задании двух пучков ортогональных коник, точки $F_1$  и $F_2$  для которых являются их центрами.

В работе [7] была рассмотрена конструктивная геометрическая схема для построения линии, равноудаленной по отношению к двум произвольным окружностям. Особенностью данной схемы является то, что в этих алгоритмах построение равноудаленных кривых (коник) проведено с использованием заранее известных их фокальных точек.

Пусть имеются две окружности $p$  и $q$  (рис. 2). Воспользовавшись алгоритмом, приведенным выше, построим две коники $u$  и $v$ , равноудаленные от этих окружностей. Задача в общем случае имеет четыре решения.

Пусть $A~u$. Построим $ap=A\circ P$  и $aq=A\circ Q$ , где точки $P=\text{C}\left(p\right)$  и $Q=\text{C}\left(q\right)$  ‒ центры окружностей $p$  и $q$  соответственно. Найдем точки $A{P}_1,A{P}_2=ap\times p$ , $A{Q}_1,A{Q}_2=aq\times q$ .
Проведем окружность $a:A=\text{C}\left(a\right),a~A{P}_1$ . Очевидно, что $a~A{Q}_1$ , вследствие чего точка $A~u$ равноудалена от окружностей  $p$  и $q$ .
Пусть $B~u$ . Построим $bp=B\circ P$  и . Найдем точки $B{P}_1,B{P}_2=bp\times p$ ,$B{Q}_1,B{Q}_2=bq\times q$ . Проведем окружность $b:B=\text{C}\left(b\right),b~B{P}_2$ . Очевидно, что $b~B{Q}_2$  , вследствие чего точка $B~u$  равноудалена от окружностей  $p$  и $q$ .

Пусть $C~v$ . Построим $cp=C\circ P$  и $cq=C\circ Q$ . Найдем точки $C{P}_1,C{P}_2=cp\times p$ ,$C{Q}_1,C{Q}_2=cq\times q$ . Проведем окружность $c:Cp=\text{C}\left(c\right),c~C{P}_1$ . Очевидно, что $c~C{Q}_2$  , вследствие чего точка $C~v$  равноудалена от окружностей  $p$  и $q$ .

Пусть $d~v$ . Построим $dp=D\circ P$  и $dp=D\circ P$ . Найдем точки $D{P}_1,D{P}_2=dp\times p$ ,$D{Q}_1,D{Q}_2=dq\times q$ . Проведем окружность $D{Q}_1,D{Q}_2=dq\times q$ . Очевидно, что $d~D{Q}_1$  , вследствие чего точка $d~v$  равноудалена от окружностей  $p$  и $q$ .

Приведенные построения демонстрируют наличие четырех различных пар рядов окружностей с едиными центрами $P$  и $Q$  и парой общих окружностей $p$  и $q$ . 
$pa:P=\text{C}\left(pa\right),pa~A$ , $qa:Q=\text{C}\left(qa\right),qa~A$ ;
$pa:P=\text{C}\left(pa\right),pa~A$ , $pa:P=\text{C}\left(pa\right),pa~A$ ;
$pa:P=\text{C}\left(pa\right),pa~A$ , $pa:P=\text{C}\left(pa\right),pa~A$ ;
$pa:P=\text{C}\left(pa\right),pa~A$ , $qd:Q=\text{C}\left(qd\right),qd~D$ .

Таким образом, имеем четыре решения поставленной задачи.
Принцип выполнения построений равноудаленных кривых в случае позиционного отношения исходных окружностей, при котором одна окружность полностью лежит в круге, ограниченном другой окружностью, тот же, за исключением того, что равноудаленные кривые будут представлены эллипсами, поэтому этот случай здесь не рассматривается.

В качестве примеров в работе [7] продемонстрированы два случая, в которых исходные окружности располагаются вне друг друга или частично пересекаются явно (т.е. в вещественных точках). Примечательно то, что в этих двух случаях линиями, эквидистантными к двум окружностям являются гиперболы. В том случае, если одна из окружностей полностью находится в другой, то равноудаленными линиями для них являются эллипсы, причем общая схема построения эквидистант не меняется. Непринципиальным отличием с точки зрения общетеоретического подходя является лишь то, что часть геометрических образов становятся мнимыми, что может представлять проблему лишь для инструментального исполнения алгоритма традиционными геометрическими средствами. Принимая во внимание то обстоятельство, что все эти ограничения легко преодолеваются компьютерными средствами поддержки геометрического моделирования и скрытыми от их пользователей, будем считать способ построения эквидистантных кривых к двум произвольным окружностям единым.

III.         Единая конструктивная схема построения окружностей Мальфатти

Для обоснования принципов, предлагаемых в конструктивной схеме построения окружностей Мальфатти, рассмотрим классическое решение этой задачи, сформулированное Якобом Штейнером.

Пусть заданы три вершины $A$ , $B$ , $C$  треугольника $△ABC$ . Проведем через них три прямые линии ‒ стороны треугольника $ab=A\circ B$ , $bc=B\circ C$  и $ac=A\circ C$  (рис. 3). Центры искомых окружностей должны касаться каждой из пар сторон треугольника, следовательно, они лежат на линиях, равноудаленных от этих сторон, т.е. на биссектрисах углов, образованных этими сторонами. Построим биссектрисы углов при вершинах  $A$  ‒ $a_1:\angle a_1,ab=\angle a_1,ac$ , $a_2:\angle a_2,ab=\angle a_2,ac$ ; $B$  ‒ $b_1:\angle b_1,ab=\angle b_1,bc$ , $b_2:\angle b_2,ab=\angle b_2,bc$  и $C$  ‒ $c_1:\angle c_1,ac=\angle c_1,bc$ , $c_2:\angle c_2,ac=\angle c_2,bc$ . Найдем точки пересечения биссектрис $S=a_1\times b_1$ , $AB=a_2\times b_2$ , $BC=b_2\times c_2$  и $AC=a_2\times c_2$ .

В соответствии с методом, предложенным Штейнером, выполним построение трех вспомогательных окружностей: $k={△}_{ins}\left(ab,a_1,b_1\right)$  (вписана в треугольник, образованный линиями $ab$ , $a_1$ , $b_1$ ; $l={△}_{ins}\left(bc,b_1,c_1\right)$   (вписана в треугольник, образованный линиями $bc$ , $b_1$ , $c_1$ )  и$m={△}_{ins}\left(ac,a_1,c_1\right)$  (вписана в треугольник, образованный линиями $ac$ , $a_1$ , $c_1$ ). Каждая из биссектрис касается пары начерченных окружностей. Достроим также комплементарные касательные для каждой такой пары: $km$ , $ml$  и $kl$  и найдем искомые окружности $u={△}_{ins}\left(ab,ac,ml\right)$ , $v={△}_{ins}\left(ab,bc,km\right)$ , $m={△}_{ins}\left(ac,a_1,c_1\right)$ . Обратим внимание на то, что прямые линии $km$ , $ml$  и $kl$  ‒ суть радикальные оси соответственных пар искомых окружностей $\left(k-m\right)$ , $\left(m-l\right)$  и $\left(k-l\right)$ .

Несмотря на корректность полученного решения, оно не дает ясного представления о геометрической природе полученных окружностей Мальфатти. Для более подробного анализа осуществим ряд дополнительных построений, которые позволят изучить эту природу в достаточной полноте.

Проведем окружности $p=UAB\circ VAB$ , $q=VBC\circ WBC$ , $r=UAC\circ WAC$   через точки касания $UAB$ , $VAB$ , $VBC$ , $WBC$ , $WAC$  и $UAC$  окружностей Мальфатти со сторонами треугольника $△ABC$  (рис. 4). Нетрудно увидеть, что $p$ : $p\perp u$, $p\perp v$ , $p\perp ab$; $q$ : $q\perp v$ . $q\perp w$ , $q\perp bc$ ; $r$ : $r\perp w$, $r\perp u$ , $r\perp ac$ . Построим также окружности $a$  с центром в точке $A$ , $b:B=\text{C}\left(b\right),b~VAB$  с центром в точке $B$  и $c$  с центром в точке $C$ . Из построения следует, что центр  $Cp=\text{C}\left(p\right)$  окружности $p$  равноудален от окружностей $a$  и $b$ , центр  $Cq=\text{C}\left(q\right)$  окружности $q$  равноудален от окружностей $q$  и $c$ , a центр  $Cr=\text{C}\left(r\right)$  окружности $r$  равноудален от окружностей $c$  и $a$ . В то же время точка пересечения биссектрис $S$  треугольника $△ABC$  также равноудалена от окружностей $a$ , $b$  и $c$ . В соответствии с вышеизложенным линия – коника $e$ , равноудаленная от окружностей $a$  и $b$ , может быть построена, и она, в свою очередь, будет проходить через точку $S$ .  Соответственно, можно определить и точку $Cp$  центра окружности $p$  как одну из двух точек пересечения коники с прямой $ab,b$ . Аналогичные рассуждения справедливы  и в отношении коник $f$  и $g$ , а также точек $Cq$  и $Cr$ .

Найдем теперь положение точки $R$  – радикального центра искомых окружностей Мальфатти $u$ , $v$  и $w$ . Вследствие того, что эти окружности касаются друг друга, расстояние от точки  $R$  до всех трех точек касания одинаковое, следовательно, через точки касания можно провести окружность $z$ , ортогональную к окружностям $u$ , $v$  и $w$ . С другой стороны, окружности $p$ , $q$  и $r$   касаются окружности $z$  в тех же соответственных точках, вследствие чего точка $R$  является равноудаленной по отношению к этим окружностям, а окружность $z$  может рассматриваться как вписанная в окружности $p$ , $q$  и $r$ .

Рассмотрим, к примеру, пару окружностей $p$  и $r$ . Построим их равноудаленную $h$  и заметим, что она проходит через точку $A$ . Действительно, точка центра окружности $p$  инцидентна со стороной треугольника $ab~Cp$ ; точка центра окружности $r$  инцидентна со стороной треугольника  $ac~Cr,km~Cr$ , а расстояния от точки $A$  до точек $UAB$  и $UAC$  равны. Те же рассуждения справедливы и в отношении коник $i$   и $j$ . Таким образом, $R,R^{\prime }=h\times i\times j$ , где  $R$  – центр окружности $z$ , вписанной в окружности $p$ , $q$ , $r$ , а  $R^{\prime }$  – центр окружности $z^{\prime }$ , описанной возле тех же окружностей.

Теперь не составляет труда построить радикальные оси $km=Cp\circ R$ ,  $ml=Cq\circ R$ и $kl=Cr\circ R$ , а уже с их помощью найти окружности  $u={△}_{ins}\left(ab,ac,ml\right)$ , $v={△}_{ins}\left(ab,bc,km\right)$ , $w={△}_{ins}\left(bc,ac,kl\right)$ . Заметим, что задача о вписывании окружности в треугольник также опирается на построение равноудаленных линий – биссектрис пар сторон треугольников, исходящих из общих для них вершин.

Выполнив анализ приведенной схемы, приходим к выводу о том, что построение окружностей Мальфатти можно выполнить по следующему общему алгоритму (рис. 5).

• Имея заданными три исходные вершины $A$ , $B$ , $C$ , строим треугольник $△ABC$  со сторонами $ab=A\circ B$ , $bc=B\circ C;v={△}_{ins}\left(ml,ab,bc\right)$  и $ac=A\circ C$ .
• Строим биссектрисы углов при вершинах  $A$  ‒ $a_1:\angle a_1,ab=\angle a_1,ac$ , $a_2:\angle a_2,ab=\angle a_2,ac$ ; $B$  ‒ $b_1:\angle b_1,ab=\angle b_1,bc$ , $b_2:\angle b_2,ab=\angle b_2,bc$  и $C$  ‒ $c_1:\angle c_1,bc=\angle c_1,ac$ , $c_2:\angle c_2,bc=\angle c_2,ac$ . Найдем точки пересечения биссектрис $S=a_1\times b_1$ , $AB=a_2\times b_2$ , $BC=b_2\times c_2$  и $AC=a_2\times c_2$ . Точки $AB$ , $BC$  и $AC$  по аналогии с точкой $S$  позволяют получить кратные решения задачи об окружностях Мальфатти. Поскольку принципиально алгоритм построения на основе этих точек не отличается от алгоритма с использованием точки $S$ , будем рассматривать только его.
• Изначально окружности $a$  и $b$  неизвестны, поэтому построение равноудаленной к ним линии $e$  будем выполнять посредством точек $A$  и $B$ , представляющих фокусы  этой кривой, и точки $S~e$ . Заметим, что одновременно с линией $e$  будет получена комплементарная с ней коника $e^{\prime }$ , которая является равноудаленной для ряда пар окружностей  $a^{\prime }$  и $b^{\prime }$  с теми же центрами $A$  и $B$ . Аналогичные рассуждения следует провести и в отношении линий $g$ >, $g^{\prime }$ , $h$   и $h^{\prime }$ . Рассмотрение результатов взаимодействия системы линий $e$ , $e^{\prime }$ , $g$ , $g^{\prime }$ , $h$   и $h^{\prime }$  позволяет получить все кратные решения задачи в отношении выбранного центра $e^{\prime }$ .
• Из чертежа видно, что на основе построения линий $e$ , $e^{\prime }$ , $g$ , $g^{\prime }$ , $h$   и $h^{\prime }$  можно выделить четыре точки трехкратного пересечения коник $T=e\times f\times g$ , $U=e^{\prime }\times g^{\prime }\times f$ ,  $V=e^{\prime }\times f^{\prime }\times g^{}$ , $W=f^{\prime }\times g^{\prime }\times e$ . Выбор любой из них позволяет определить пары точек пересечения коники со стороной треугольника $△ABC$ , проходящей через фокусы коники и, следовательно, получить одно из кратных решений задачи. 
• Пусть для примера выбрана точка $T=e\times f\times g$. Следовательно, для дальнейшего построения потребуются точки $Cp,Cp\prime =ab\times e$ , $Cq,Cq\prime =bc\times f$  и $Cr,Cr\prime =ac\times g$ .
• Для дальнейших построений требуется выбрать две тройки точек для определения аналогов центров ранее рассмотренных окружностей $p$ , $q$  и $r$ . Для осуществления такого выбора следует через две такие тройки провести две коники, вписанные в треугольник $△ABC$ . На чертеже в качестве примера показаны две коники $y=ac\circ bc\circ Cp;ac~Cq;bc~Cr$ ;  и $y^{\prime }=ac\circ bc\circ p^{\prime };ac~q^{\prime };bc~r^{\prime }$ . Существует только две коники из восьми возможных, которые будут удовлетворять требованию касания к сторонам треугольника $△ABC$ , следовательно, выбор одной точки $$ повлечет за собой получение двух решений. Соответственно, на основе одного центра $S$  может быть получено 8 решений, а учитывая также центры $AB$ , $BC$  и $AC$ , все 32 решения задачи.
• Поскольку изначально окружности вида $p$  и  $r$  неизвестны, но доступны точки $Cp$  и $Cr$, а также точка $A$ , то построить конику $h$  можно по двум фокусам – центрам $Cp$  и $Cr$  недоступных окружностей   $p$  и  $r$  и точке $A$  – $h:Cp,Cr,A$ . Выполним также построение коник  $h^{\prime }:Cp,Cr,A$ ; $i:Cp,Cq,B$ ; $i^{\prime }:Cp,Cq,B$ ; $j:Cr,Cq,C$ ; $j^{\prime }:Cr,Cq,C$  по аналогичной схеме.
• Найдем радикальный центр искомых окружностей $R,R^{\prime }=h\times i\times j$ , а также радикальные оси $ml=Cp\circ R$ , $km=Cq\circ R$ , $kl=Cr\circ R$ .

Построения искомых окружностей во вписывании окружностей в прямые  $u={△}_{ins}\left(ab,ac,ml\right)$ , $v={△}_{ins}\left(ml,ab,bc\right)$  и $w={△}_{ins}\left(bc,ac,kl\right)$ .

Построим окружности $z:z\perp u;z\perp v;z\perp w$ ; $o:o\perp q;o\perp p;o\perp r$ ; $z^{\prime }={{\rm I}}_o\left(z\right)$ . Как видно из построения, окружность $z$  с центром в $R$  является одним из решений задачи Аполлония относительно $p$ , $q$  и $r$ . Следовательно, комплементарное решение $z^{\prime }$  может быть получено как результат инверсии $z$  относительно окружности $o$ , ортогональной к $p$ , $q$  и $r$ , при этом центром окружности $z^{\prime }$  является точка $R^{\prime }$ . Из данного построения видно, что в общей конструктивной схеме решения задачи Мальфатти естественным образом присутствует ее формулировка и в инверсионной постановке. То есть решение задачи о построении трех взаимно касающихся друг друга окружностей и сопряженных с тремя другими окружностями, имеющими общую точку, сводится к решению классической задачи Мальфатти.

IV. Заключение

В результате проведенного исследования получены следующие результаты:

• дано единое конструктивное обоснование природы задачи об окружностях Мальфатти, заключающееся в нахождении ряда геометрических структур методами построения линий, равноудаленных от пары окружностей;
• представлены примеры рабочего использования алгоритма построения конических кривых, заданных парой фокальной точек и проходящих через заданную точку;
• сформулировано расширенное толкование задачи об окружностях Мальфатти, распространяющееся не только на линейные треугольники, но и на пары сопряженных окружностей, имеющих общую точку; показано место этой задачи в общей классической схеме.

Список литературы

1. Malfatti. Memoirie di matematica. Tomo X. Parte I. Modena. 1803.

2. Steiner J. Einige geometrische Betrachtungen // Crelle J. Parte I. 1826.

3. Petersen J. Methodes et theories pour la resolution des problemes des constructions geometriques. Paris: Gautier-Villars. 1880.

4. Адлер А. Теория геометрических построений / пер. с нем. Г. М. Фихтенгольца. — Л. : Учпедгиз, 1940. С. 15

5. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы математики. Ч. 2. Геометрия (планиметрия). М.: Гостехиздат. 1952. С. 204.

6. В. З. Беленький, А. А. Заславский. Решение обобщенной задачи Мальфатти с помощью комплексной (гиперболической) тригонометрии // Математическое просвещение. — 1998. — Вып. 2. — С. 141-154.

7. Voloshinov D.V. Constructive Geometry of Conics Principal Conjugations. Proceedings of the International Conference on Computer Graphics and Vision “Graphicon”. 2023. № 33. С. 814-825.