УДК 378.147:514.18

DOI:

Проективное обоснование задачи о семи окружностях
Projective Justification of the Problem of Seven Circles

Е.П.Бояшова 1, Д.В.Волошинов 2, Т.В.Мусаева 3

1 СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 193232, Санкт-Петербург, Россия
2 СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 193232, Санкт-Петербург, Россия
3 СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 193232, Санкт-Петербург, Россия

E.P.Boyashova 1, D.V.Voloshinov 2, T.V.Musaeva 3
1 The Bonch-Bruevich Saint Petersburg State University of Telecommunications, 193232, St. Petersburg, Russia
2 The Bonch-Bruevich Saint Petersburg State University of Telecommunications, 193232, St. Petersburg, Russia
3 The Bonch-Bruevich Saint Petersburg State University of Telecommunications, 193232, St. Petersburg, Russia

Аннотация. Статья посвящена рассмотрению проективных свойств, присущих известной теореме о семи окружностях. В отличие от известных работ разных авторов по данной теме в статье представлено исключительно проективное обоснование построений, связанных с ее решением. Проведенный анализ позволил предположить и показать нерациональность ныне существующей формулировки данной задачи. Изменение направления причинно-следственного отношения позволило соотнести с данной конструкцией и другие геометрические образы, причастность которых к ней неочевидна, включая образы мнимых окружностей.

Ключевые слова: теорема о семи окружностях, проективные преобразования, мнимые окружности, конструктивная геометрия

Abstracts: The article is devoted to the consideration of projective properties inherent in the well-known theorem on seven circles. Unlike the well-known works of various authors on this topic, the article presents exclusively a projective justification of the constructions associated with its solution. The analysis carried out allowed one to assume and show the irrationality of the currently existing formulation of this problem. Changing the direction of the cause-and-effect relationship is allowed to correlate with this construction other geometric images whose involvement in it is not obvious, including images of imaginary circles.

Keywords: seven circle theorem, projective transformations, imaginary circles, constructive geometry

I. Введение

Задача о семи окружностях имеет очень простую формулировку, которая звучит следующим образом: пусть имеется цепочка из шести окружностей, каждая из которых касается седьмой окружности и двух соседних окружностей. Тогда три линии, проведенные между противоположными парами точек касания с седьмой окружностью, пересекаются в одной точке. Геометрическая закономерность, раскрывающаяся в задаче о семи окружностях, была обнаружена относительно недавно в 1974 году; ее формулировка и решение были опубликованы в [1, 2]. Высокая наглядность и выразительность конструкции этой задачи привлекала внимание ряда авторов, которые привели альтернативные доказательства этой теоремы, а также исследовали смежные с этой задачей геометрические проблемы [3, 4].

Обращает на себя внимание тот факт, что все приведенные в этих работах решения так или иначе основываются на понятии числа, поскольку авторы прибегают к алгебраическим и тригонометрическим средствам доказательства справедливости теоремы, не отрицая, однако, наличия в этой задаче проективных свойств.
Цель данной статьи – показать исключительно проективный характер данной задачи, не прибегая к понятиям расстояния и величины угла, а также поставить под сомнение причинно-следственную связь ее условия. Гипотеза исследования состоит в том, что, изменение причинно-следственных взаимосвязей геометрических объектов теоремы позволит распространить действие наблюдаемых отношений на другие образы, нежели окружности, в том числе и на объекты имеющие мнимую природу.

II.Геометрическое обоснование факта пересечения касательных и секущих в единой точке

Для обоснования проективного характера задачи о семи окружностях отдельно рассмотрим следующие геометрические свойства, имеющие к ней непосредственное отношение. Начертим две окружности и $b$ . Определим их центры $CA=\text{C}\left(a\right)$  и $CB=\text{C}\left(b\right)$ , через которые проведем прямую линию $o=CA\circ CB$  . Найдем точки $A_1,A_2=a\times o$  и $B_1,B_2=b\times o$ , посредством которых зададим две инволюции ${\xi }_1|\begin{array}{c}o;A_1;B_2\\ o;A_2;B_1\end{array}$  и ${\xi }_2|\begin{array}{c}o;A_1;A_2\\ o;B_1;B_2\end{array}$. Построим двойные точки $U_1$  и $U_2$ инволюции ${\xi }_1$ , через которые проведем окружность $u=U_1\circ U_2$ . Найдем центр объекта $G=\text{C}\left(u\right)$ . Определим двойные точки $V_1$  и $V_2$  инволюции ${\xi }_2$ . Проведем окружность $v=V_1\circ V_2$ . Построим точки $M,N=a\times u$  и их образы $N^{\prime }={{\rm I}}_v\left(N\right)$  и $M^{\prime }={{\rm I}}_v\left(M\right)$  . Заметим, что образ окружности $u^{\prime }={{\rm I}}_v\left(u\right)$  совпадает с прообразом $u$  в силу ортогональности окружностей $u$  и $v$ , следовательно, прямые $m=M\circ M^{\prime }$  и $n=N\circ N^{\prime }$  будут инцидентны с центром инволюции $C=\text{C}\left({\xi }_2\right)$ , то есть пересекаться в нем. Аналогичное утверждение справедливо не только относительно окружности $u$ , но и вообще в отношении любой окружности $u*$  пучка окружностей, заданных центрами $U_1$  и $U_2$ , в силу его ортогональности к $v$ . Поскольку центр инволюции является также точкой пересечения касательных $t:T~t,T~a,T^{\prime }~t,T^{\prime }~b$  и $s:s~S,s~a,S^{\prime }~s,S^{\prime }~b$  к окружностям $a$  и $b$ , следует заключить, что все четыре прямые $m$ , $n$ , $t$  и $s$  (секущие и касательные) пересекаются в одной и той же точке $C$ . Определим еще одну инволюцию ${\xi }_3|\begin{array}{c}o;A_1;B_2\\ o;A_2;B_1\end{array}$  и найдем ее центр $Z$ . Как известно, это точка является результатом пересечения второй пары касательных, проведенных к окружностям $a$  и $b$ .

Обратимся теперь к условию задачи о семи окружностях. Пусть дана замкнутая цепь из последовательно касающихся друг друга шести окружностей $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$  и $f$ , касающихся также общей для них окружности $g$  соответственно в точках $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ . Теорема утверждает, что прямые линии $ad$ , $be$  и $cf$  пересекаются в единой точке $S$ .

Точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$  лежат на окружности $g$  и являются вершинами шестиугольника, возле которого описана кривая второго порядка. Согласно теореме Паскаля, точки пересечения трёх пар противоположных сторон такого шестиугольника лежат на одной прямой. Принимая эту прямую за поляру, построим полюс относительно окружности $g$ , который является точкой пересечения диагоналей шестиугольника, соединяющих его противоположные вершины, что, собственно, и доказывает теорему о семи окружностях в ее известной постановке. Обратим внимание на то, что все три пары противолежащих ортогональных окружностей $ab$-$de$ , $bc$ - $ef$, $af$ -$cd$ , составляющих предыдущее построение, образуют «внешние» касательные, попарно пересекающиеся на поляре, в то время как все «внутренние» касательные пересекаются в единой точке – полюсе $S$ .

Обращает на себя внимание также и тот факт, что, по сути, шесть окружностей цепи, касательных к заданной, вообще говоря, не являются определяющим фактором данной задачи и, скорее, отражают не причину рассматриваемого геометрического явления, а ее следствие. Более того, изначальное построение таких окружностей сопряжено с немалыми трудностями и требует обоснования того факта, что такую замкнутую цепь вообще можно построить. Поэтому видится правильным дать иную формулировку задачи, поменяв местами ее причину и следствие.

Пусть дана произвольная окружность и имеются три прямые линии, проходящие через одну точку. Данная система объектов индуцирует две однопараметрические замкнутые цепочки попарно касательных окружностей, одновременно касательных к еще одной заданной окружности.

Формулировка теоремы в данной постановке не только позволяет достаточно легко построить такие цепочки, но и представляет собой общий случай, учитывающий в том числе возможность включения в такие цепочки прямых линий (линейных ветвей окружностей бесконечно большого радиуса) и мнимых решений, при которых количество вещественных звеньев может быть меньше шести вплоть до нулевого значения. Понятно, что в исходной постановке задачи о семи окружностях перечисленные свойства рассматриваемой геометрической конструкции неочевидны.

Покажем на конкретном примере образования вещественной цепочки принцип реализации обсуждаемого геометрического феномена. Пусть дана окружность $g$ , точка $S$  и три прямые линии $ad$ , $be$  и $cf$ , пересекающие окружность $g$  в точках $A,D=ad\times g$ , $B,E=be\times g$  и $C,F=cf\times g$ . Проведем окружности $ab:ab~A;ab~B;ab\perp g$ , $bc:bc~B;bc~C;bc\perp g$ , $cd:cd~C;cd~D;cd\perp g$ , $de:de~D;de~E;de\perp g$ , $ef:ef~E;ef~F;ef\perp g$ , $af:af~A;af~F;af\perp g$ . Выберем, например, на окружности $ab$  точку $M~ab$ . Обладая единственной степенью свободы, данная точка будет определять однопараметрическое множество окружностей, составляющих цепочку. Построим первую окружность цепочки $a:a~M;a~A;a\perp ab$ , касающуюся окружности $g$  в точке $A$ . Вторая окружность может быть найдена следующим образом: $b:b~M;b\perp ab;b\perp bc$ . Построив точку $N=b\times bc$ , проведем следующую окружность цепи $c:c~C;c\perp bc;c\perp cd$ .

Вычерчивание остальных звеньев выполняется аналогичным образом, причем условия ортогональности окружностей гарантируют замкнутость строящейся цепочки, состоящей из окружностей , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ . Цепочка окружностей, комплементарная к полученной, может быть построена посредством операции инверсии относительно окружности $g$ : $a^{\prime }={{\rm I}}_g\left(a\right)$ ; $b^{\prime }={{\rm I}}_g\left(b\right)$ ; $c^{\prime }={{\rm I}}_g\left(c\right)$ ; $d^{\prime }={{\rm I}}_g\left(d\right)$ ; $e^{\prime }={{\rm I}}_g\left(e\right)$ ; $f^{\prime }={{\rm I}}_g\left(f\right)$ .

Анализируя полученное построение, несложно обнаружить, что при нахождении точки $S$  внутри круга, очерченного окружностью $g$ , цепочки будут состоять только из вещественных окружностей. В том случае, если точка $S$  выйдет за пределы круга, ограниченного $g$ , становятся возможным образование мнимых точек пересечения прямых $ad$ , $be$  и $cf$  с окружностью $g$ , что повлечет за собой появление мнимых окружностей в цепочках, в том числе окружностей, которые будут совпадать с окружностью $g$ и даже находиться по разные стороны от нее.

Проведенные рассуждения позволили сделать следующие заключения:

Для анализа теоремы о семи окружностей нет необходимости прибегать к алгебраическим и тригонометрическим представлениям данной задачи. Задача имеет чисто проективную геометрическую природу и для своей реализации не требует обращения к понятям числа, расстояний и величин углов;

Общепринятая формулировка задачи не вполне корректна, т.к. она не отражает всей полноты геометрических явлений, составляющих ее природу;

Задача сформулирована в новой постановке, которая полностью соответствует ее геометрической сущности, позволяет легко строить замкнутые цепочки окружностей, включая возможность причисления к ним прямых линий, окружностей, находящихся по разные стороны от исходной, а также мнимые окружности;

Задача демонстрирует возможности конструктивного геометрического подхода применительно к поиску общих геометрических решений, в том числе среди задач, которые считались или считаются состоявшимися.

Список литературы

1. Evelyn C.J.A, Money-Coutts G. B., Tyrrell J. A. The Seven Circles Theorem and Other New Theorems (англ.). — London: Stacey International, 1974. — P. 49—58.

2. Evelyn, C. J. A.; Money-Coutts, G. B.; and Tyrrell, J. A. "The Seven Circles Theorem." §3.1 in The Seven Circles Theorem and Other New Theorems. London: Stacey International, pp. 31-37, 1974.

3. Stanley Rabinowitz, The Seven Circles Theorem. Pi Mu Epsilon Journal, 8(1987)441-449.

4. Минаев Г. С. Теорема о семи окружностях и проективные преобразования, Матем. просв., 2020, вып. 25, С. 155–162.