КОНСТРУКТИВНОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ПЕРСПЕКТИВА ПРЕПОДАВАНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
Д.В.ВОЛОШИНОВ
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф.М.А.Бонч-Бруевича (Санкт-Петербург)
denis.voloshinov@yandex.ru

К.Н.СОЛОМОНОВ; д.н., профессор, профессор

Аннотация

В работе освещены некоторые вопросы преподавания дисциплин инженерно-графического цикла в условиях, возникающих в педагогических коллективах ВУЗов России разногласий о форме их проведения и содержании. Предложено обратить внимание коллег на информационную сущность методов конструктивной геометрии, составляющих основу соответствующих курсов, намечены перспективы их дальнейшего развития

Abstracts

The article is devoted to some issues for teaching of disciplines of engineering and graphic cycle in the context of emerging disagreement about the form of their content and development in the high-school pedagogical collectives of modern Russia. The attention of colleagues is addressed to the informational constructive geometry method’s nature – the initial basis of the relevant courses. Some prospects of their further development are suggested.

Ключевые слова: начертательная геометрия, конструктивное геометрическое моделирование; геометро-графические дисциплины; информация; инструментальные средства геометрии.

Keywords: descriptive geometry, constructive geometry modeling; geometry and graphic disciplines; information; tools for geometry.

Переход высшей школы на реализацию федеральных образовательных стандартов третьего поколения затрагивает многие исторически сложившиеся образовательные технологии преподавания курсов дисциплин в ВУЗах страны. Практическая реализация стандартов привела к изменению регламента учебных планов и содержания образовательных программ. Во многих дисциплинах намечается сокращение времени как на изложение теоретического материала, так и на проведение практических занятий за счет увеличения доли самостоятельной работы студентов. В условиях перехода от специалитета к бакалавриату сокращение учебных часов способно оказать негативное влияние на профессиональную компетентность будущих выпускников, что вызывает справедливую озабоченность педагогов высшей школы, побуждает их искать способы повышения или хотя бы сохранения эффективности преподавания [1].

В последние годы в среде педагогических работников, осуществляющих преподавание геометро-графических дисциплин, наметилась четко выраженная поляризация мнений о содержании и необходимости соответствующих курсов, и, в первую очередь, о профессиональной ценности и целесообразности предмета «начертательная геометрия», который до настоящего времени относится к категории фундаментальных дисциплин в подготовке инженерно-технических работников. Острая полемика ведется в коллективах соответствующих кафедр вузов, имеет она отражение и на конференциях, принимая иногда достаточно напряженные формы. Можно констатировать, что к настоящему времени сформировался диапазон диаметрально противоположных мнений специалистов: от признания исключительной важности дисциплины для умственного развития студентов до жестких требований исключить дисциплину из учебного процесса как морально устаревшую и не имеющую шансов быть востребованной в будущем.

Обе стороны приводят убедительные доводы в пользу своей правоты и, внедряясь в этот спор, весьма трудно быть судьей, ибо уверенность в правильности позиции каждого его участника исходит из личного опыта и достижений.

И все же, не претендуя, конечно, на исчерпывающую полноту изложения вопроса, постараемся выделить главные доводы противников и сторонников традиционного способа преподавания дисциплины «начертательная геометрия». Начнем с позиции противников дисциплины.

Приверженцы отказа от изучения курса начертательной геометрии в технических вузах сходятся во мнении, что эта дисциплина к настоящему времени морально устарела, а ее методы более не применяются на практике. Современные программные системы автоматизации инженерного труда, базирующиеся на аналитическом способе представления информации о форме поверхностей объектов, не имеют ничего общего с теми методами, на которые тратится весьма ограниченное учебное время в курсе начертательной геометрии, являющейся всего лишь основой ручного исполнения технических чертежей. Следовательно, отказавшись от никому не нужных ныне непроизводительных затрат, можно было бы изыскать тот временной резерв, который позволил бы за счет внедрения средств автоматизации и информатизации без какого-либо ущерба сформировать те качественные компетенции выпускника, за которые ответственна геометро-графическая область знания. В качестве таких средств в подавляющем большинстве случаев приводятся системы 3D-моделирования, владение которыми востребовано современным производством и результаты работы которых, безусловно, производят впечатление на зрителя. Педагоги, стоящие на таких позициях, зачастую упрекают своих коллег-оппонентов в косности, нежелании изменяться и познавать новое, в несоответствии текущему моменту и современным тенденциям проектирования, в консерватизме и архаичности.

У сторонников традиционного преподавания начертательной геометрии, безусловно, тоже есть доводы в пользу своей правоты. Пожалуй, основной и наиболее весомый среди них тот, который утверждает, что начертательная геометрия учит человека абстрактно-логически размышлять о форме в отвлеченных качественных категориях. Ее отличительная дидактическая особенность – это  решение проблем с использованием приемов моделирования, представления формы средствами самой же формы, освоения принципов выполнения косвенных измерений, изучения синтетического метода научного познания окружающей действительности. Сторонники такого подхода настаивают на том, что эта дисциплина нужна прежде всего для тренировки умственных способностей студента, без которых решение трудных, а тем более новых геометрических задач, пусть даже с использованием компьютера, – дело пустое.

Понятно и естественно, что каждая сторона старается «отвести обвинения», стремясь предъявить доказательства того, что вмененные недостатки устранимы прежде всего за счет совершенствования методик преподавания. Но, по всей видимости, спор этот бесполезен и бесперспективен. Создается впечатление, что, в основном, позиции сторон составляют предмет извечной борьбы старого и нового, но истинная суть проблемы остается в тени. Она не исследуется, не рассматривается в единстве своих противоречий, причинно-следственные взаимосвязи этого конфликта остаются нераскрытыми, а следовательно, тяжелый спор остается лишенным каких-либо продуктивных перспектив.

Понимая сложность проблемы и ответственность, которая следует за каждым высказанным соображением, попробуем все же дать собственную оценку, предложить свое видение текущего положения и будущего места начертательной геометрии и геометрического образования вообще как звена в единой системе общечеловеческих знаний. Постараемся также вскрыть некоторые, возможно, не вполне очевидные ее стороны и сформулировать некоторые положения, от которых можно было бы оттолкнуться, чтобы сдвинуться в затянувшемся споре или даже уйти от него. Это позволило бы определить перспективы преподавания геометрии и, в конечном счете, повлиять на ее будущее развитие как научной дисциплины.

Обсуждение намеченной темы хотелось бы начать, выйдя за рамки традиционного подхода к преподаванию начертательной геометрии, который проистекает из понимания ее функций и предназначения как инструментально-теоретической базы технического черчения. Ведь если следовать традициям и ограничениям, накладываемым нынешними и прошлыми образовательными стандартами, то будет весьма сложно разглядеть то существенное начало, которое могло бы послужить основой для переосмысления значения дисциплины, для расширения сферы ее приложения к иным областям знания и к практике.

Гаспар Монж включил в название разработанной им геометрии, предназначенной для решения на плоскости задач трехмерного пространства, определение «начертательная», чем особо выделил специфику предложенного им метода – выполнение простых  формальных действий на листе бумаги посредством имеющихся в распоряжении исследователя чертежных инструментов. Характеризуя дисциплину, он определяет ее предназначение следующими словами: «… цель начертательной геометрии – выводить из точного описания тел все, что неизбежно следует из их формы и расположения. В этом смысле – это средство искать истину; она дает бесконечные примеры перехода от известного к неизвестному…» [2]. А сравнивая геометрию с искусством, он обращает внимание читателя на то, что «… в графических искусствах применяются общие методы, с которыми можно освоиться, пользуясь только циркулем и линейкой».

Следует заметить однако, что мысль, высказанная Монжем посредством этих слов, в некоторой степени преуменьшает значимость начертательной геометрии как научной дисциплины – в особенности этот факт стал заметен и актуален в настоящее время, так как он как бы нарочно ставит область научного знания в прямую зависимость от наличия и совершенства чертежных средств – инструмента – от чего, в принципе, она зависеть не должна. В действительности, начертательная геометрия конечно же не обусловливается инструментами реализации собственных методов, поскольку апеллирует прежде всего к абстрактно-логическим, геометрическим понятиям, подобно любой другой формальной системе научных знаний. Однако произошло следующее: естественность и действительно высокая эффективность применения методов дисциплины в практике технического проектирования незаметно привели к совмещению понятий «инструмент» и «операция», выполняемая с его помощью, и эта не вполне полезная и, важно отметить, неправильная по сути ассоциация надежно закрепилась в сознании специалистов и педагогов на многие годы.

В процессе своего исторического развития начертательная геометрия выделилась в крупный раздел геометрии, имеющий важное практическое применение. Присущий ей конструктивный метод, который заключается в изучении геометрических абстракций, состоящих во взаимодействии или соотнесении с другими геометрических абстракциями (что принципиально отличает этот способ от координатного метода, который имеет место в аналитической геометрии, реализующегося с использованием понятия числа) позволяет рассматривать ее как компонент более общей геометрии: конструктивной (синтетической), основанной на геометрических построениях. Важность гносеологического значения синтетической геометрии выдающийся русский математик-геометр К.А.Андреев характеризует следующими словами: «Чистая геометрия есть, строго говоря, геометрия построения» [3]. «… Все преимущество новой, синтетической или чистой геометрии перед геометрией древних заключается в том более возвышенном положении по отношению к изучаемому материалу, в которое она ставит изучающего. Находясь в таком положении, мы становимся созерцателями не отдельных только геометрических истин, но тех общих принципов, из которых эти истины истекают как из общих источников; мы становимся обладателями не частных только приемов для решения тех или других задач, но методов, являющихся орудиями для расследования целых областей науки.». Звучит в этой же работе и следующее исключительно важное утверждение: «Понятие о построении как о некотором процессе, как о совокупности известного рода элементарных геометрических операций не зависит, очевидно, от частных особенностей данных, на которых оно основывается. Построение может быть, следовательно, вполне определенным и неизменным, когда данные будут изменяющимися или даже неопределенными». Таким образом, уже в конце XIX века К.А.Андреев определяет фундаментальную значимость для геометрии, выражаясь языком современным, алгоритма – построения, устанавливающего взаимосвязь между данными особой природы – геометрическими объектами, в том числе, виртуальными. Фактически этим своим утверждением К.А.Андреев закладывает основу для развития метода научного познания, получившего позже название «геометрическое моделирование».

Нельзя, разумеется, обойти вниманием фундаментальные работы Я.Бойяи и Н.А.Лобачевского, в которых впервые было показано, что в основу формализмов, принимаемых в качестве фундамента геометрической науки, могут быть заложены принципиально различные аксиоматические базисы, что, в свою очередь, приводит к развитию разных, на первый взгляд неочевидных, но логически-строгих непротиворечивых геометрических систем. А это, в свою очередь, влечет за собой появление непохожих друг на друга по своим свойствам геометрий. Эти идеи, не сразу осознанные современниками, получили впоследствии свое блестящее подтверждение при геометрическом представлении положений специальной теории относительности.

Наряду с созданием новых и совершенствованием ранее разработанных методов геометрии начертательной в применении к решению задач, сформулированных в терминах трехмерного пространства, становится понятным, что схожие приемы дают возможность изучать объекты абстрактных пространств высоких размерностей, не имеющих явных физических аналогий с пространством размещения материи по признаку протяженности. В частности, одной из первых успешных интерпретаций положений общей теории относительности, исходящих из предположения четырехмерности неоднородного пространства-времени, служит данная хоть еще и в неявной форме, но именно геометрическая модель четырехмерного пространства [4].

Таким образом в истории развития геометрии возникает и начинает развиваться понятие геометрического моделирования – способа рассуждения и исследования некоторой сущности (реальной или абстрактной), а также управления ею, посредством ее замены на другую, в той или иной степени эквивалентную первой, но, что принципиально важно, имеющую геометрическую природу.

В развитие положений общей теории информации, сформулированных в работах Винера и Шеннона, серьезную теоретическую поддержку идеи геометрического моделирования получили в трудах исследователей ленинградской научной геометрической школы, работавших под руководством профессора К.И.Валькова. В своих исследованиях К.И.Вальков и его последователи рассматривают отношения между геометрическими объектами в контексте алгоритмизации геометро-графических операций, при которой любая геометрическая операция представляется как преобразователь информации, как действующее устройство, выполняющее полезную работу – функцию. Такое абстрактное устройство по аналогии с механическим было предложено называть геометрической машиной [5]. Применительно к современным компьютерным технологиям, работу такой машины можно сопоставить с действием эквивалентной расчетной программы, выполняемой на некотором вычислительном устройстве. Особое внимание в научных трудах школы К.И.Валькова уделяется всесторонним вопросам представления объектов пространств одних размерностей в пространствах других размерностей, то есть проблемам соотнесения прообразов и их изображений на пространствах-картинах. В этом контексте задачи традиционной начертательной геометрии трехмерного пространства становятся лишь частным проявлением значительно более общей проблемы: представление и оперирование объектами многомерных пространств путем их моделирования на пространствах иных размерностей – теорией изображений. В работах показано, что между различными способами выражения проекционных систем существует транзитивная взаимосвязь, что делает эти системы эквивалентными с точки зрения полноты информации. Выбор той или иной системы может быть осуществлен, исходя из соображений практического удобства их применения. Так, например, использование систем двумерных изображений рационально в тех случаях, когда модель имеет смысл воплотить в виде плоской предметной модели – чертежа на бумаге или изображения на экране монитора. Сопоставление многомерного пространства с системой одномерных картин воссоединяет многомерные геометрические представления с понятием числа, то есть с аналитической геометрией. Безусловно, не исключается применение в качестве картин пространств с размерностью, большей чем второй.

Нельзя обойти вниманием тот факт, что практически до конца восьмидесятых годов XX века конструктивные методы весьма широко применялись в инженерной практике вне следования какой-либо систематической геометрической теории для решения задач, условие которых формулировалось в геометро-графической постановке. Таковыми, например, являются принципы проектирования механизмов, зубчатых зацеплений в механике [6], проектирование поверхностей в судостроении [7]. Так например, большую известность получили работы академика Н. С. Курнакова [8], в которых диаграммы многокомпонентных систем в физико-химическом анализе получили визуальную интерпретацию посредством применения плоских моделей четырехмерного пространства. Без использования подобных моделей понимание сущности исследуемых явлений было бы крайне затруднено. Множество оригинальных расчетно-графических приемов составляют приемы и методы проектирования технологических процессов горячей объемной штамповки [9]. Примеры использования геометро-графических приемов в процессах проектирования можно неограниченно продолжать. Говоря коротко, геометрическим методам всегда отдавалось предпочтение перед другими методами расчета, если задача в своей формулировке поддается естественной визуально-графической интерпретации.

Однако, в конце XX века в этой тенденции произошел перелом. Достижения в области теории информации, создание электронных вычислительных машин, основанных на дискретном принципе действия, обеспечили аналитической ветви математики технологическое преимущество перед геометрическими методами – мощный вычислительный инструмент, который предопределил бурное развитие численных методов, способствовал созданию систем проектирования, основанных на использовании понятия числа.  В то же время геометрическая наука по-прежнему оставалась с обычными традиционными инструментами – циркулем и линейкой, которые, конечно же, не позволяли обеспечить сравнимое по точности, качеству и срокам производительность проектирования. Изучая материалы диссертационных работ того периода, проводившихся по геометрической тематике, нетрудно заметить тенденцию, которая заключается в непременном снабжении геометрических моделей, разработанных исследователями, их полным аналитическим эквивалентом, выраженным в виде совокупности формул, и практически подготовленном для представления на общетехнических языках программирования. И, несмотря на отсутствие весомой научной значимости такого перевода, и, можно сказать, информационного излишества, иного соответствующего духу времени способа реализовать свои модели на практике у исследователей не оставалось. Видимо, в эти годы и начинает формироваться отношение к начертательной геометрии, как к науке устаревающей, непрактичной, лишенной перспектив развития, проигрывающей свои позиции из-за технических недостатков применяемого инструментария. Вследствие этого печального положения без внимания и применения и поныне остается множество интереснейших научных, учебных разработок, угасает стремление молодежи к исследованиям в геометрической области, а термин геометрическое моделирование теряет свое былое значение и под ним все чаще начинают понимать не более чем процесс создания поверхностей для проектирования сложных технических изделий средствами 3D систем автоматизации инженерного труда.

Современный мир уже невозможно представить себе без повсеместного применения вычислительной техники. Множество бытовых устройств оснащено микроконтроллерными системами. Наличие нескольких персональных компьютеров дома – сейчас уже норма жизни. Проведение научно-исследовательских работ не мыслится без средств компьютерной обработки информации. Однако стоит заметить, что такое положение дел было достигнуто не сразу. Одной из важнейших задач, которая стояла перед разработчиками вычислительных систем, являлась проблема простоты и естественности использования такого оборудования неспециалистами в области информатики. С одной стороны, ее решение стало возможно благодаря качественным изменениям, которые затронули архитектуру вычислительных устройств, снятию былых ограничений на объемы компьютерной памяти, повышению быстродействия процессорных схем, разработке объектно-ориентированных и иных технологий программирования. Но что еще более важно, сформировалось общефилософское понимание характера информационных процессов в применении к различным областям знания, что позволило создать универсальные и естественные для большинства пользователей приемы взаимодействия с вычислительной техникой, воплотившиеся в графических интерфейсах программных систем прикладного назначения. Виртуальный характер информации обеспечил возможность выполнения работы с информационными системами на естественном для профессиональной области языке.

Из сказанного ранее становится понятно, что проблема инструментальных ограничений, которая была присуща конструктивному геометрическому методу, может быть снята тем же компьютером, который некогда геометрии противостоял. И именно тогда незаслуженно забытые, но весьма полезные для практического применения методы и приемы конструктивной геометрии займут свое достойное место в арсенале информационных технологий, а ее алгоритмы (в том числе и алгоритмы геометрии начертательной) станут практичными и содержательными, какими и должны быть все алгоритмы математики.

Таким образом, для успешного применения методов конструктивного геометрического моделирования требуется разработка специализированных систем, осуществляющих соответствующую информационную поддержку процессов проектирования. Исследования, которые получили отражение в работе [10], проводились с целью создания теории, позволяющей осуществлять разработку интерактивно-графической среды, предназначенной для выполнения всех этапов проектирования, отладки и применения конструктивных геометрических моделей. Программная система, получившая название Симплекс, воплощает идею реализации геометрических преобразований в виде действующих геометрических машин, позволяет снять былые инструментальные ограничения, которые ранее приписывались конструктивному геометрическому методу, предоставляя тем самым этой дисциплине современный информационный инструмент. В этих условиях геометрическое моделирование становится специализированным разделом информатики, в которой изучается преобразование информации, выраженной объектами геометрической природы.

Примененная в системе Симплекс фактологическая модель описания элементарных геометрических операций позволяет не только конструировать и приводить в действие геометрические машины, но и анализировать их логическую структуру, поскольку внутри системы любая геометрическая конструкция представляется в предикатной форме, характерной для систем логического программирования. Такой принцип, заложенный в систему позволяет существенно расширить возможности проектирования, поскольку позволяет всесторонне исследовать модели, подвергать их целенаправленным преобразованиям, реализовывать поиск геометрических решений в соответствии с заданными стратегиями и многие другие, в том числе экспертные функции.

Система успешно применяется для информационной поддержки учебного процесса в курсе начертательной геометрии, читаемого студентам технических специальностей Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, а также используется в научно-исследовательской работе студентов и аспирантов.

Применение системы позволяет по-новому подойти к преподаванию старой науки. Изучаемые алгоритмы и типовые построения не ассоциируются с проблемами рутинного выполнения чертежно-графической документации. Геометрия воспринимается студентами как средство моделирования и расчета. Графические схемы, выполненные в системе Симплекс незаметно для обучающегося переводятся в действующую компьютерную программу, с которой можно экспериментировать, как с виртуальной лабораторной установкой.

Важно также то, что частично удалось решить проблему невостребованности многих расчетно-графических схем, которые в современных условиях не могли найти своего практического воплощения по уже рассмотренным ранее причинам [11, 12]. Более того, появилась возможность не только оперировать с объектами пространств, превышающих третью размерность, но и использовать преобразования проективной геометрии, бесконечно удаленные элементы, мнимые объекты [13, 14], которые по вполне понятным причинам не развиваются в системах автоматизации проектирования, предназначенных, в основном, для проектирования поверхностей деталей машин.

Распространение на конструктивное геометрическое моделирование парадигм и принципов объектно-ориентированного проектирования позволяет по-новому отнестись к проблемам классификации, наследования признаков при синтезе форм и многообразий. Открывается широкое поле для ведения научных исследований как в области геометрии, так и в смежных областях, в которых геометрическим моделям отдается традиционное предпочтение. Предложенный подход может способствовать формированию и насыщению геометрических баз знаний, разработке экспертных геометрических систем, позволяет организовать обмен геометрическими моделями (суть программами) через сетевые средства.

В завершение хотелось бы подвести итог и высказать несколько заключительных соображений в отношении спора, возникающего между сторонниками и противниками преподавания начертательной геометрии. По-видимому, дискуссия возникает не из-за каких-либо изъянов и архаичности дисциплины, а из-за того, что этой дисциплине в современных условиях не удается найти достойное применение. Причины этого явления были уже нами рассмотрены. В действительности, конструктивная геометрия (и начертательная в том числе) компьютерные технологии 3D не противостоят друг другу, а дополняют, ибо все они – звенья одной транзитивной цепи. В каком объеме, как и в каких «пропорциях» преподавать то или другое – вопрос, который, по понятным причинам, не решается в рамках одной статьи. Важно, видимо, не забывать, что новое – это хорошо забытое старое, но на новом витке спирали познания.

Геометрическое моделирование является универсальным научным методом. Это обстоятельство, безусловно, необходимо учитывать при разработке концепций преподавания графических дисциплин, при формировании перечня проблем научных изысканий. Опираясь на эти позиции можно определить те предпочтительные направления, которые будут обладать действительными признаками новизны, а преподаваемые дисциплины приобретут современный законченный вид.

 

Литература

  1. Волошинов Д.В. Начертательная геометрия. Есть ли у нее будущее в ВУЗе? – Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе в условиях ФГОС ВПО. Материалы II международной научно-практической Интернет-конференции. Пермь. Февраль-март 2011 г. С. 103.
  2. Монж Г. Начертательная геометрия / Под ред. проф. Д. И. Каргина. — М.: Изд. АН СССР, 1947. — С. 10.
  3. Андреев К.А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий. М.: Университетская типография (М.Катков) на Страстном бульваре, 1879. С. 7.
  4. Клейн Ф. Неевклидова геометрия .– М.-Л. : Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936 .– С. 344.
  5. Вальков К.И. Введение в теорию моделирования. Л.: ЛИСИ, 1974. 151 с.
  6. Колчин Н.И. Механика машин : В 2 т. / Н.И. Колчин .– 3-е изд., перераб .– Л. : Машиностроение, 1971-1972.
  7. Котов И.И. Геометрические основы ключевых способов построения поверхностей // Труды ВЗЭИ. М., 1959. Вып. 10. С. 15-36.
  8. Курнаков Н.С. Введение в физико-химический анализ: Учеб. пособие для хим. фак. гос. ун-тов / Под ред. В.Я.Аносова, М.А. Клочко; Н.С. Курнаков. 4-е изд. доп. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1940. 564 с.
  9. Ребельский, А.В. Основы проектирования процессов горячей объёмной штамповки / Ребельский А.В. ; Под ред.С.С. Соловцова.– М.: Машиностроение, 1965 .– 248 с.
  10. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование : теория, практика, автоматизация / Денис Волошинов .— [Saarbrücken] : LAP LAMBERT Academic Publishing, [2011] .— 355 с.
  11. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия / В.А.Пеклич – М.: изд.-во АСВ, 2000 – 344 c.
  12. Пеклич В.А. Начертательная геометрия. Учебник для вузов / В.А.Пеклич – М.: изд.-во АСВ, 1999 – 248 c.
  13. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. Учеб. пособие / В.А.Пеклич – М.: изд.-во АСВ, 2007 – 104 c.
  14. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. М.: Маска, 2008. 200 с.

 

References

  1. Voloshinov D.V. Nachertatel’naya geometriya. Est’ li u nee budush’ee v vuze? [Discriptive Geometry. Does it Have a Chance for Future?] Perm. 2011. P. 103.
  2. Monzh G. Nachertatel’naya geometriya. [Descriptive Geometry]. Moscow, 1947. —P. 10.
  3. Andreev K.A. O geometricheskih sootvetstviyah v primenenii k voprosu o postroenii krivyh linij [Geometry Correspondences in the Terms of Curves Construction]. Moscow, 1879. P. 7.
  4. Klejn F. Neevklidova geometriya [Non-Euclidian Geometry ].– Moscow-Leningrad, 1936 .– P. 344.
  5. Valkov K.I. Vvedenie v teoriju modelirovaniya [Introduction to Modeling theory]. Leningrad, 1974. 151 p.
  6. Kolchin N.I. Mehanika mashin [Machine’s mechanics]. Leningrad, 1971-1972.
  7. Kotov I.I. Geometricheskie osnovy kljuchevyh sposobov postroeniya poverhnostej [Geometry Basics of Key Methods of Surfaces Construction]. Moscow, 1959. Pp. 15-36.
  8. Kurnakov N.S. Vvedenie v fiziko-himicheskij analiz [Introduction to Physically-chemistry Analysis]. Moscow-Leningrad, 1940. 564 p.
  9. Rebel’skij A.V. Osnovy proektirovaniya processov goryachej ob’emnoj stampovki [Basics of Hot Forging Design] Moscow, 1965 .– 248 p.
  10. Voloshinov D.V. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie: teoriya, praktika, avtomatizaciya [Constructive Geometry Modeling. Theory, Practice, Automation]. Saarbrücken, 2011 .— 355 p.
  11. Peklich V.A. Vysshaya nachertatel’naya geometriya [Supreme Descriptive Geometry]. Moscow, 2000 – 344 p.
  12. Peklich V.A. Nachertatel’naya geometriya [Descriptive Geometry]. Moscow, 1999. 248 p.
  13. Peklich V.A. Mnimaya nachertatel’naya geometriya [Imaginary Descriptive Geometry]. Moscow, 2007 – 104 p.
  14. Hirsh A.G. Naglyadnaya mnimaya geometriya [Visual Imaginary Geometry]. Moscow, 2008. 200 p.