НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЕСТЬ ЛИ У НЕЕ БУДУЩЕЕ В ВУЗЕ?
Д.В.ВОЛОШИНОВ
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (Санкт-Петербург)
denis.voloshinov@yandex.ru

Аннотация

При использовании обычных инструментальных средств для решения геометрических задач, получение и анализ результатов, в которых фигурируют мнимые геометрические образы, затруднительны. Несмотря на признание правомерности и научной ценности мнимых решений, присутствующих в геометрических конструкциях, до сих пор не вполне ясным остается вопрос о целесообразности и практической исполнимости таких решений. В следствие этого, для большинства специалистов-практиков мнимые решения представляются как нечто недостижимое или неважное. Однако внедрение мнимостей в практику геометрического моделирования позволяет получать решения в исчерпывающей полноте, разрабатывать единые алгоритмы решения задач, которые обычно представлялись либо не решаемыми, либо сводились к решениям в частных постановках. Использование компьютерных технологий и парадигмы конструктивного геометрического моделирования позволяют снять остроту этой проблемы и направить усилия как на совершенствования геометрической теории, так и на внедрение научных достижений в обозначенной области в область практических применений. Средства автоматизации геометрического эксперимента позволяют найти в, казалось бы, в давно известных математических фактах новые закономерности, прийти к более общему пониманию геометрических понятий и образов.

Статья посвящена анализу некоторых геометрических схем и обсуждению возникающих в этой связи вопросов теории построения кривых второго порядка методами конструктивного синтеза. В статье показано, что используемые в настоящее время определения центра кривой второго порядка и диаметров этих кривых вступают в противоречие с принципом неразличимости коник в проективной геометрии. Предложены пути устранения этих противоречий и на их основе разработан унифицированный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка.

Ключевые слова: геометрическое моделирование; кривая второго порядка; коника; фокус; Симплекс.

Keywords: geometric modeling; curve of second-order; conic; foci; Simplex.

Дискуссии, в которых поднимается вопрос о целесообразности преподавания студентам методов начертательной геометрии, разгораются в среде преподавателей высшей школы в последние годы все чаще и чаще. С нарастающей силой озвучивается мысль о том, что начертательная геометрия как наук а потерпела окончательное историческое поражение перед всецело заменившей ее геометрией аналитической. Убежденность сторонников этой идеи в ее истинности подкрепляется тем фактом, что современные компьютеризированные технологии проектирования формы промышленных изделий основываются на парадигме, не оставляющей места методам начертательной геометрии: так называемом твердотельном 3D-моделировании.

Естественно, возникают справедливые вопросы: не является ли изучение начертательной геометрии студентами многих технических и некоторых творческих специальностей напрасной тратой драгоценного учебного времени? Будет или не будет нанесен какой-либо ущерб интеллектуальному потенциалу страны, если официально признать эту дисциплину ненужной и полностью отказаться от ее преподавания, переключив все усилия исключительно на выработку у студентов «объемного» мышления в применении к задачам проектирования формы? Окончательно ли использован потенциал этой науки, или же мы находимся под властью складывавшихся годами традиций и догм и чего-то важного не замечаем?

Реалии сегодняшнего дня таковы, что специалисты, так или иначе связанные с преподаванием цикла инженерно-графических дисциплин, разделились на два лагеря: сторонников и противников преподавания начертательной геометрии. Обе стороны приводят множество аргументов и доводов в защиту своих позиций. Дискуссия, которая имела место в материалах конференции КГП 2010, и, возможно, в той или иной форме состоится на конференции нынешней, – лишний раз тому подтверждение.

Фактически, все мы являемся свидетелями определенного интеллектуального кризиса в геометрической науке. Сложность выработки позиции заключается, в частности, в том, что, являясь работниками ВУЗов, все мы должны соблюдать регламентацию государственных образовательных стандартов, а они зачастую оставляют мало простора для свободного полета мысли. Мое повествование вынужденно выходит за рамки действующих стандартов. Иначе трудно говорить о повышении культуры геометрографической подготовки, теряется смысл в стремлении к инновациям любого рода, невозможна модернизация экономики, к которой так настойчиво призывает руководство страны. И, как это уже бывало в истории, может получиться так, что упущенную идею подхватит кто-то другой, и мы опять будем вынуждены «догонять» и сетовать на то, что не мы первые. Безусловно, путь, по которому идет каждый из нас, тернист. Каждое найденное положительное решение – ценность, заслуживающая внимания и уважительного отношения. Поэтому мне как автору данной статьи не хотелось бы, чтобы излагаемые мною соображения рассматривались как истина в последней инстанции или как некое назидание кому бы то ни было.

Заявленная тема сложна, неоднозначна и, быть может, даже неблагодарна. И все же чувство необходимости поделиться своими мыслями берет верх, ибо для кого-то из читателей они могут показаться неожиданными и, надеюсь, полезными. Возможно, некоторые из приводимых фактов будут казаться тривиальными, а некоторые, наоборот, непонятными, но без них вряд ли сможет сформироваться маломальски целостная картина происходящего и, возможно, перспектив будущего. И, конечно же, я далек от той мысли, что в рамках краткого изложения удастся найти «волшебную таблетку», которая разом разрешит все противоречия и прольет свет на то, каким образом всем нам жить дальше. Итак, почему же начертательная геометрия удостоилась столь неблагодарной участи – быть объявленной многими учеными мужами устаревшим учением, ненужным знанием? Чем же она настолько «хуже» других наук, что ей более не место в ВУЗе?

Начертательная геометрия – обширный раздел конструктивной геометрии. Как и любой другой науке, ей присущи свои предмет и метод. И, если предмет этой науки в некоторой степени может совпадать с предметом других наук (описание объектов и процессов окружающей действительности), то метод ее уникален и состоит, если постараться выразиться совсем кратко, в конструктивном определении взаимной инцидентности пространств различных структур и размерностей, реализованном в виде комплекса геометрических построений.

Попробуем, насколько это возможно в рамках короткой статьи, определить различие между синтетическим (геометрическим) и аналитическим подходах к решению задач моделирования пространства. Начнем с первого.

Представим один из возможных способов формирования пространства в виде последовательности действий.

1. Укажем некоторый элемент, о свойствах которого будем утверждать, что он не может содержать в себе других элементов, и установим признак, позволяющий отличить такой элемент от возможных элементов иного рода. Естественно обозначить этот признак числом, например, нулем, учитывая тот факт, что указанное число в должной мере характеризует приведенное свойство элемента.

2. Сформируем множество $\left\{R^0\right\}$ из объявленных элементов, что будет означать существование некоторой процедуры, позволяющей осуществить различение элементов этого множества. Процедура принимается как некоторая данность, действие которой проявляется в возможности идентификации любого элемента из множества $\left\{R^0\right\}$ по заранее установленному набору характеризующих параметров. Набор параметров зафиксируем числом $n$ .

Величина $n$ как числовая характеристика набора параметров, выделяющих элемент множества, имеет отношение не только ко всему множеству, но и к его отдельному элементу. В первом случае характеризуется «вместимость» (мощность) множества, во втором – информационные затраты на индивидуальный выбор его элемента. Само множество элементов с признаком «ноль» получает название пространство, а элемент пространства – название точка. При этом число $n$ именуется размерностью или информационным индексом в зависимости от того, какой объект оно характеризует – пространство или его элемент.

3. Установим структуру пространства как набора элементов разного рода. Другими словами, определим способ синтеза новых, отличных от точки, форм на основе элементов изначального множества и некоторых предварительно заданных процедур.

Моделируя окружающую нас действительность и исключая из рассмотрения несущественные для дела признаки, мы вынуждены прибегать к парному сопоставлению множеств, имеющих различную размерность. Наглядным примером тому может служить, например, процесс получения геометрической информации о трехмерном физическом пространстве на основе фотографического изображения или рисунка, выполненного архитектором. Аналогичная ситуация возникает, когда в пространстве параметров некоторого многофакторного процесса часть параметров недоступна для измерения или же не играет существенной роли в данном конкретном рассуждении. Эти и другие обстоятельства приводят к необходимости иметь способ парной расстановки элементов неравномощных множеств, т.е. осуществить преобразование одного пространства в другое при неравенстве их размерностей. Операцией, выполняющей такое сопоставление, является всем известная операция проецирования, проистекающая из общефилософского принципа проекционного схематизма [1]. Для ее реализации в пространстве должен быть установлен аппарат проецирования, представляемый центром проецирования и картинным пространством, на которое осуществляется отображение прочих элементов множеств. Операция проецирования в свою очередь сводится к двум элементарным процедурам: соединению проецируемого образа с центральным с целью получения проецирующего луча, и последующему пересечению этого луча с картинным пространством. Результатом выполнения операции будут либо геометрический образ в поле картины, либо индуцируемое реализованной геометрической схемой многосвязное отношение. Понятно, что операция проецирования, выполняющая сопоставление множеств, имеет информационный характер. Ее действие можно легко интерпретировать как работу некоторого абстрактного вычислительного устройства, получившего в литературе название геометрической машины, доставляющей информацию [2, 3].

Для изоморфного моделирования пространства, как правило, недостаточно выполнения единственной операции проецирования. Хорошо известный метод двух изображений, частным случаем которого является эпюр Монжа, – это конструктивная геометрическая модель, в которой аппарат проецирования удвоен, в качестве центров проецирования выбраны точечные объекты $S_1$ и $S_2$ , а в качестве картинных пространств взяты две несовпадающие плоскости $O_{xy}$ и $O_{xz}$ (рис. 1). (В эпюре Монжа центры бесконечно удалены и расположены ортогонально по отношению к двум взаимно ортогональным плоскостям проекций). В литературе такая модель получила обозначение $G_{\mathrm{2,2}}^3$ , то есть модель трехмерного пространства, представленная в двух плоских полях. Именно этой так называемой дискретно-непрерывной моделью долгие годы человечеству удавалось столь успешно пользоваться для выполнения любых проектно-конструкторских работ. Теперь же ее критикуют за архаичность и «несовершенство» и апеллируют к геометрии аналитической, то есть к понятию числа.

Возникает естественное желание выяснить, чем же тогда является аналитическая модель трехмерного пространства, есть ли между нею и моделью, которую принято называть геометрической, нечто общее или же они качественно и непреодолимо отличаются друг от друга?

Отвечая на этот вопрос, попытаемся построить новую конструктивную схему, моделирующую трехмерное пространство. Для этого произвольным образом в пространстве выделим три центральные прямые ( $s_1$ , $s_2$ и $s_3$ ) и три несовпадающие картинные прямые – числовые оси ( $O_x$ , $O_y$ , $O_z$ ). Выберем в пространстве точку $A$ и найдем ее образы на картинных прямых по следующей схеме: соединим точку $A$ и первую центральную прямую $s_1$ плоскостью $s_{1}A$ , а затем пересечем полученную плоскость с первой картинной прямой $O_x$ . Подобную операцию повторим с соответственными оставшимися центрами и картинными прямыми. В результате на картинных прямых получим три точки $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , однозначно моделирующие исходную точку трехмерного пространства. Не составит никакого труда убедиться в том, что полученная модель в целом изоморфна. По аналогии с предыдущей, построенную модель можно обозначить символом $G_{\mathrm{1,3}}^3$ , что означает «дискретно-непрерывная модель трехмерного пространства, представленная в трех линейных полях», и назвать методом трех изображений. Понятно, что данную проективную схему можно легко преобразовать в метрически-определимую конструкцию (изображена на рисунке). Но ведь тогда это и есть способ моделирования объектов трехмерного пространства средствами аналитической геометрии! И именно такая «расчлененная» модель служит основой для формирования структур данных и выполнения преобразований для оперирования с формой в системах 3D геометрии.

Рис. 1. Конструктивные схемы образования основных однородных дискретно-непрерывных моделей трехмерного пространства

Вывод напрашивается сам собой. Между моделями, вообще говоря, нет существенной разницы: они транзитивны. Можно только посетовать, что вторая модель несколько сложнее. Действительно, если в плоских картинах можно легко различать как точечные, так и линейные объекты, то на картинах, представленных прямыми линиями, без труда удается различать разве что точки. Объекты же более сложной природы будут выражены многосвязными отношениями, и нам попросту не удастся визуально представить их в какой-либо элементарно понятной интерпретации. Это можно будет сделать только в символьной записи. И именно это обстоятельство – причина того, что в практике реальной конструкторской деятельности при проектировании формы предпочтение всегда отдавалось первой модели (чертежу, изображению), а не второй (формуле).

Получается парадоксальная ситуация. Аналитическая модель структурно сложнее, она в сравнении с геометрической моделью требует большего числа операций для достижения результата одной и той же поставленной задачи, ибо в ней разница в размерностях моделируемого пространства и пространства картин больше. Но именно о ней в современном мире стали говорить, как о наиболее рациональном способе представления формы, о единственной модели, достойной изучения! Получается нелогично, ведь если принципиальной разницы между моделями нет, то почему аналитическую геометрию изучать стоит, а начертательную нет? А, может быть, они не нужны обе, и будущий инженер сможет вовсе обойтись без них? Вряд ли…

Из сказанного следует сделать вывод о том, что причину наблюдаемого нами «перекоса» следует искать вовсе не в архаичности или же прогрессивности какой-либо из фундаментальных наук – они абсолютно равноправны. Причина кроется в другом: в развитости и приспособленности к современным нуждам профессионалов тех инструментальных средств, с помощью которых можно с наибольшей эффективностью применить ту или иную модель на практике. И всё!

Действительно, в докомпьютерную эпоху, несмотря на рутинность выполнения графических работ, невозможно было найти более удобного и доступного средства обработки геометрической информации, чем лист бумаги и чертежные инструменты. Появление компьютерной техники с архитектурой фон-Неймана, прочная ассоциация машины дискретного действия с понятием числа, языки программирования, ориентированные на символьно-числовые методы обработки информации, предопределили предпочтение разработчиков средств автоматизации инженерного труда к преимущественному использованию в программных продуктах методов аналитической математики. На создание соответственного математического аппарата, программного обеспечения за последние десятилетия были брошены колоссальные человеческие и материальные ресурсы. А конструктивная геометрия, в том числе и начертательная, так и осталась с прежними инструментами: линейкой и циркулем. Но ведь пользователю все равно, лишь был бы получен желаемый результат. И все же интересно было бы посмотреть, которая из моделей получила бы предпочтение в условиях отсутствия электричества, дабы уравнять шансы?

Приходится признать, что разработка систем автоматизации чертежных работ серьезной поддержки развитию геометрической мысли оказать не смогла. Реализуемая в САПР методология компьютеризированного черчения (в том числе основывающаяся на принципах параметризации) не согласуется с методом конструктивной геометрии: в ней не уделяется внимание тому, что геометрическая модель обладает информационным содержанием и может быть использована в качестве преобразователя информации. Следствием этого стало то, что любые попытки практического внедрения геометрических моделей неотвратимо требовали от их разработчиков выполнения дополнительной аналитической интерпретации полученных геометрических результатов, то есть выражения их в форме, пригодной для реализации в виде компьютерных программ. Печально, но приходится констатировать, что результатом такого состояния дел стало практически полное угасание отечественной научной деятельности в области конструктивного геометрического моделирования за последние сорок лет.

Неудивительно, что в этих условиях начертательная геометрия начинает ассоциироваться с чем-то устаревшим, остановившимся в своем развитии. Ее предназначение видится только в одном: в старомодном решении задач констатирующего плана. Форма изделия спроектирована, и в этом видится конечная цель. Причем спроектирована с большими трудозатратами, в то время как той же цели можно достигнуть с помощью компьютерных программ и, если можно так выразиться, без «головной боли». Конечно же, при таком подходе становится трудно оправдать необходимость изучения этой дисциплины. Она превращается в нечто такое, что служит целям развития воображения, тренировки ума, в игру типа шахмат, как ее часто стали называть. Это определение уже у всех на устах. Оправдать ее научную, а тем более практическую значимость становится трудно.

И все же так ли бесперспективно современное положение начертательной геометрии?

Размышляя над этим вопросом, позволю себе остановиться на некоторых моментах, которые, на мой взгляд, не могут не приниматься во внимание, несмотря на кажущееся победоносное шествие 3D технологий в задачах проектирования формы.

Какими бы совершенными ни были современные программные системы, какой бы математический аппарат в них ни закладывался, в методологии проектирования всегда будут присутствовать положения, которым вряд ли можно будет дать разумную интерпретацию без привлечения принципов проекционного схематизма. Рассмотрим некоторые из них.

Первое и наиболее важное, причем неизбежное ограничение на методологию проектирования накладывает зрительный аппарат человека. По своей природе он плоский (или приближающийся к нему). Стереоскопическое восприятие окружающей действительности, пусть даже не очень замечаемое в повседневности, достигается за счет парности глаз. Следовательно, конструкция аппарата зрения человека может быть соотнесена с рассмотренной ранее в статье моделью $G_{\mathrm{2,2}}^3$ . Фактически окружающий мир познается человеком через зрительный канал посредством проекционного аппарата с двумя плоскими разнесенными в пространстве картинами. Поэтому осознание «пространственности» зрительного образа – это результат деятельности мозга, сравнить которую в некоторой степени можно с синхронным переводом с одного языка на другой. Следовательно, рассуждать о естественности для человека оперирования образами 3D допустимо только в контексте такого перевода. При наличии большого опыта этот перевод многими из нас может восприниматься как природная данность, присущая любому человеку, но это вовсе не значит, что такой перевод легко дается каждому и ему не надо серьезно учиться.

Второй момент, на котором бы хотелось остановиться, – это архитектура графического интерфейса человек-компьютер. В подавляющем большинстве интерфейс взаимодействия проектировщика с системой проектирования графический, плоский – экран монитора (за исключением, может быть, CAVE-систем). Поэтому управление всеми вычислительными процессами, а также интерпретация их результатов осуществляется через плоское изображение. Здесь мы снова имеем дело с непрерывным дешифрированием информации, сопоставлением 2D и 3D образов. Следует заметить, что бытующее иногда мнение о том, что аксонометрическая или же перспективная проекция на экране является 3D изображением, является грубой теоретической ошибкой, которая, к сожалению, пустила крепкие корни и прочно обосновалась в профессиональном сленге. Не менее важен и другой факт. Оперируя лишь единственным изображением проектируемой сцены (конструкции и т.п.), через плоский графический интерфейс полнофункционально взаимодействовать с 3D моделью принципиально невозможно. Именно поэтому процесс проектирования связан с использованием различных видов, занимающих «удобное» положение, покачиванием модели для ощущения ее «пространственности» и другими операциями, подобными этим. Синтез любой задаваемой поверхности подразумевает тот или иной способ двухкартинного (в том числе неявного) формирования ее модели. Даже в условиях безбумажного производства необходим контроль качества выполнения проектных работ. Вряд ли в обозримом будущем удастся изобрести что-то более эффективное для этих целей, чем зрительный анализ изображения (чертежа), вычерченного на плоском листе бумаге в соответствии с требованиями ЕСКД в «неудобных» для понимания ортогональных видах. Перечень операций подобного рода можно продолжать достаточно долго. По сути, в основе всех эти действий лежат теоретические положения все той же начертательной геометрии, которые необходимо понимать. Разве что эпюры больше строить не придется.

И еще одно важное соображение, которое часто упускается из виду, но о котором хотелось бы сказать. Какой бы мощной и совершенной ни была система 3D-моделирования, она может выполнять только те операции, которые заложены в ее функциональный аппарат. Если же проектная задача сформулирована в терминах, не соответствующих математическому и методическому обеспечению системы автоматизации проектирования, то такую задачу решить в ней будет нельзя. Или же для ее решения потребуется разрабатывать отдельную специализированную подсистему, то есть обращаться к услугам программистов, которые все равно возьмут за основу чертеж, чтобы перевести его в аналитическую форму. В качестве примера такой задачи можно привести задачу проектирования поверхности зуба червячного колеса и соответствующей ей поверхности скольжения [4]. С помощью эпюра Монжа при использовании теоремы зацепления эти поверхности задаются достаточно легко. Но как синтезировать такую поверхность только лишь средствами твердотельного моделирования без учета тех требований, которые накладываются условиями теоремы? Это большой вопрос! Или другая задача: проектирование формы поверхности гравюры ковочных вальцов на основе известной формы поверхности расчетной предварительной заготовки [5]. Не составит труда установить зависимость между законами образования обеих поверхностей средствами начертательной геометрии. Но для твердотельного моделирования формализация данной задача оказывается достаточно трудной, если не непосильной.

Как же тогда поступать с задачами, которые легко формулируются в геометрических терминах, но не могут быть реализованы в среде 3D систем? Преобразовывать модель в аналитическую форму и, как обычно поступают в подобных случаях, написать программу на языке C?

Этот вопрос всегда ставил исследователей в области геометрии в очень трудное положение. Почти безвыходное. Однако у него есть совершенно очевидное решение. Конструктивная геометрия и начертательная как ее подраздел нуждаются в принципиально новых инструментах, которые могли бы в полной мере реализовать их метод. Механические инструменты в этом серьезно помочь не могут. Такими инструментами могут стать только компьютерные графические системы, но не любые, а только те, концепция которых определяет произвольную геометрическую операцию как преобразователь информации, как действующую геометрическую машину. Тогда совокупность взаимосвязанных геометрических построений будет представлять собою сложный геометрический преобразователь, реализующий функциональную зависимость между параметрами входа и выхода машины. В этом контексте изучение геометрической теории приобретает принципиально новый смысл, а практическая значимость аналитического и синтетического разделов математики уравнивается.

Системы, которые в той или иной степени соответствуют обозначенным требованиям и относятся к категории так называемых систем интерактивной геометрии, существуют. К наиболее известным относятся программы Geometry SketchPad, GeoGebra, Kig, KSEG и некоторые другие. Все они предназначены для решения задач планиметрии на основе парадигмы электронных циркуля и линейки. Последовательность взаимосвязанных построений фиксируется системой и тем самым она образует своеобразную внутреннюю исполняемую программу. Однако этого качества и существа операций все же недостаточно, для того чтобы создать полноценную среду автоматизированного решения задач конструктивной геометрии.

Программная система геометрического моделирования Симплекс, разработка и совершенствование которой ведется автором уже много лет, построена на иных принципах.

В основе концепции системы лежит понятие отношения между объектами геометрической и числовой природы. Отношение связывает собою именованные совокупности входных и выходных объектов проективной плоскости, которые графически отображаются на экране монитора в том случае, если введенное отношение разрешимо. Создание геометрического алгоритма (геометрической машины) из совокупности элементарных отношений осуществляется на основе технологии визуального проектирования и в основном соответствует методу конструктивной геометрии. Сложная геометрическая машина может быть «свернута» в элементарное отношение с формальными параметрами входа и выхода, чем обеспечиваются возможность расширения функционального набора и открытость системы.

Важнейшим отличием реализуемого подхода от известных принципов параметрического моделирования является то, что входные и выходные параметры отношений рассматриваются не только как объекты, обладающие «геометрическими» значениями, но и как логические атомы и/или переменные языка Prolog. Само же отношение в этом случае выполняет функцию предиката. Иными словами, визуальное проектирование приводит к созданию не только геометрического алгоритма, но и соответствующей ему скрытой от пользователя логической программы (фактологической геометрической модели). Программная среда автоматически синтезирует программы на языке Pascal и Prolog, эквивалентные синтезируемым геометрическим схемам, что исключает необходимость дополнительного этапа аналитического моделирования при необходимости интеграции разработанных в Симплексе алгоритмов в другие системы.

Такая организация системы позволяет подойти к решению геометрических задач совершенно с иных позиций, нежели это было принято ранее, разрабатывать и внедрять в практику проектирования новые методы определения формы объектов, в том числе основанные на теоретических положениях многомерной начертательной геометрии. Становится возможным выполнение анализа и синтеза структуры создаваемых алгоритмов, решение задач распознавания образов на основе действия алгоритма унификации образуемых геометрических структур с заданными образцами. Иными словами, открывается широкий спектр возможностей для решения конструктивных геометрических задач с логическим содержанием.

Одной из важнейших особенностей системы является возможность рассматривать проектирование геометрических моделей с точки зрения объектно-ориентированного подхода, образовывать новые классы геометрических объектов и преобразований, определять их функциональность. Становится доступным арсенал теоретических положений конструктивной геометрии, которым по понятным причинам никогда не находилось достойного места в традиционной методологии САПР. Фактически, процесс проектирования конструкций геометрических машин становится неявным программированием, практически не замечаемым пользователем. По существу, Симплекс – это специализированная среда быстрой разработки и отладки программ, в качестве объектов которой выступают геометрические образы.

Чем может быть полезна такая методика для будущего? Какие классы задач она позволяет решать?

Приведем только краткий их перечень:

– анализ, синтез и управление формой поверхностей, в основу которых положены классификационные признаки наследования свойств образования;

– реализация экспертных функций в задачах геометрического синтеза, автоматическое доказательство теорем в процессе решения задач проектирования формы;

– визуальное проектирование моделей для объектов и преобразований пространств с размерностью, превышающей третью для визуального представления многопараметрических процессов;

– компьютерная номография как высокоэффективное средство отображения и компактного представления многопараметрических зависимостей;

– оптимизация геометрических алгоритмов, поиск конструктивно-минимальных схем;

– проектирование конструкций специализированных процессоров, реализующих геометрические функции, в том числе имеющих параллельную архитектуру;

– проектирование и исследование пространственных механизмов;

– решение задач геометрического поиска по заданной стратегии;

– создание графического интерфейса прикладных программных систем, продуцирование расчетно-графических схем.

Перечень подобных задач можно продолжать достаточно долго. Пример решения одной относительно простой задачи о проектировании поверхности ковочных вальцев, которая упоминалась ранее в тексте, приведен на рис. 2, 3. И, конечно же, нельзя не упомянуть, что данный подход в полной мере демонстрирует гносеологическое значение конструктивной геометрии как средства познания и описания окружающей действительности в единстве аналитических и синтетических методов.

Рис. 2. Изображение расчетной поверхности ручья вальцовочной вставки, сгенерированное системой «Симплекс»: а – схема
кинематического определения поверхности вальцовочного ручья с ромбическим калибром в $G_{\mathrm{2,2}}^3$ ; б – угол наклона образующей калибра 300; в – угол наклона образующей калибра 500

Рис. 3. Конструкция геометрической машины для проектирования поверхности вальцовочного ручья с ромбическим калибром. Схема автоматически сгенерирована системой «Симплекс» по конструктивной геометрической модели

Результаты исследований, которые лишь кратко отражены в данном повествовании, нашли свое применение в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного политехнического университета и преподаются в рамках курсов начертательной геометрии и инженерной графики, а также служат основой научно-исследовательской работы студентов машиностроительных и информационных специальностей (направлений). Преподавание дисциплины в контексте изложенных соображений, позволило полностью снять проблему ее «архаичности», обеспечения точности результатов. А главное, в изучении геометрических алгоритмов появился прагматический смысл, ибо решение любой задачи – это исследование функции, которая может быть запрограммирована и применена по назначению точно так же, как и любые другие аналитические функции.

Хочется обратить внимание на то, что соображения, изложенные в статье, никоим образом не направлены на ущемление или же принижение чьих-либо взглядов и мировоззренческих позиций. Более того, автор абсолютно убежден в том, что вневременной спор о том, какая из моделей описания мира является наиболее предпочтительной, рано или поздно будет осознан противостоящими сторонами, как лишенный смысла. Ибо каждая конкретная задача требует использования наиболее подходящих для ее решения инструментов.

Отрицание необходимости изучения начертательной геометрии как ненужной науки может иметь нежелательные последствия. Данная мысль не преследует цели убедить читателя, что эта наука нужна абсолютно всем в равной мере. Возможно, содержание отдельных ее разделов в учебных курсах следует серьезно пересмотреть, сообразуясь с потребностями производства и веяниями времени. Реалии нынешнего дня таковы, что, видимо, не все студенты в своей будущей профессиональной деятельности столкнутся с решением задач сложного функционального формообразования. Возможно, им достаточно лишь поверхностного изучения основ геометрической науки. Однако незнание методов этой дисциплины может стать серьезной проблемой для тех, кто собирается разрабатывать сложную технику, технологические процессы и специализированные информационные системы – для магистров и аспирантов. Не следует забывать и еще одно обстоятельство, о котором почему-то предпочитают не говорить вслух: владение методами начертательной геометрии при определенных обстоятельствах – знание стратегического значения.

Можно долго спорить, развивает ли начертательная геометрия пространственное воображение. Отметим, что она создавалась Гаспаром Монжем как раз для того, чтобы не «держать» в голове трехмерное пространство, на самом деле без «бумажного подспорья» это довольно сложно. При работе с проекциями развивается не столько пространственное мышление, сколько логика формального применения процедур для решения проектной задачи. Точно так же, как не добавляют пространственной образности уравнения поверхностей, представленные в аналитическом виде.

Глобальный отказ от изучения конструктивной (начертательной) геометрии рано или поздно скажется и на судьбе научной специальности 05.01.01. К сожалению, эта специальность однажды уже была отнесена к категории технических наук, несмотря на ее явную математическую направленность. Помимо этого, она также практически лишена возможности кадровой подпитки, специалистов для нее практически никто не готовит (за крайне редким исключением). Между тем трудами ученых, посвятивших себя научной деятельности в области геометрического моделирования, накоплен богатейший исследовательский материал и арсенал геометро-графических методов, предназначенных для решения множества технических и научных задач. Попытка некоторого обобщения, сведения известных методов воедино, предпринята, например, в книге [6], хотя оно, безусловно, далеко не полно. Впрочем, литературы по этому вопросу предостаточно. К сожалению, почти вся она очень старая. Ко всему этому наследию стоит отнестись с должным вниманием, для того чтобы хорошо забытое «старое» однажды смогло стать долгожданным «новым». Тем более, что и в наше время есть специалисты, которые его очень ценят и ждут [7, 8].

Список литературы

1. Вальков К.И. Проекционный схематизм – инструмент и метод. Л.: ЛИСИ, 1988. – 82 с.

2. Вальков К.И. и др. Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика. М.: Высшая школа, 1997. – 493 с.

3. Вальков К.И. К объединению теоретических основ изобразительной геометрии и номографии // Вопросы вычислительной математики и геометрического моделирования. Л.: ЛИСИ, 1966.– С. 58–62.

4. Вяхирев С.В., Зернов Д.С., Кетов Х.Ф., Колчин Н.И. Прикладная механика. Л., М.: ОНТИ, 1937. Т.2. С. 608.

5. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация. Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. – 355 с.

6. Соболев Н.А. Общая теория изображений: Учеб. пособие для вузов. М.: Архитетура-С, 2004. – 672 с.

7. Вертинская Н.Д. Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах // Фундаментальные исследования. 2009. № 2.

8. Вертинская Н.Д. Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах на базе конструктивной геометрии // Международный журнал экспериментального образования, 2009. № 4.