ЕДИНЫЙ КОНСТРУКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ФОКУСОВ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Д.В.ВОЛОШИНОВ
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф.М.А.Бонч-Бруевича (Санкт-Петербург)
denis.voloshinov@yandex.ru

A UNIFIED CONSTRUCTIVE ALGORITHM FOR FOCI OF CURVES OF THE SECOND ORDER PRODUCTION

Аннотация

При использовании обычных инструментальных средств для решения геометрических задач, получение и анализ результатов, в которых фигурируют мнимые геометрические образы, затруднительны. Несмотря на признание правомерности и научной ценности мнимых решений, присутствующих в геометрических конструкциях, до сих пор не вполне ясным остается вопрос о целесообразности и практической исполнимости таких решений. В следствие этого, для большинства специалистов-практиков мнимые решения представляются как нечто недостижимое или неважное. Однако внедрение мнимостей в практику геометрического моделирования позволяет получать решения в исчерпывающей полноте, разрабатывать единые алгоритмы решения задач, которые обычно представлялись либо не решаемыми, либо сводились к решениям в частных постановках. Использование компьютерных технологий и парадигмы конструктивного геометрического моделирования позволяют снять остроту этой проблемы и направить усилия как на совершенствования геометрической теории, так и на внедрение научных достижений в обозначенной области в область практических применений. Средства автоматизации геометрического эксперимента позволяют найти в, казалось бы, в давно известных математических фактах новые закономерности, прийти к более общему пониманию геометрических понятий и образов.

Статья посвящена анализу некоторых геометрических схем и обсуждению возникающих в этой связи вопросов теории построения кривых второго порядка методами конструктивного синтеза. В статье показано, что используемые в настоящее время определения центра кривой второго порядка и диаметров этих кривых вступают в противоречие с принципом неразличимости коник в проективной геометрии. Предложены пути устранения этих противоречий и на их основе разработан унифицированный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка.

Abstracts

While using conventional tools for solving geometric problems, it is difficult to obtain and analyze results when imaginary geometric images appear. Despite the recognition of the legitimacy and scientific significance of imaginary solutions presented in geometric constructions, the task of the feasibility and practical receiving of such solutions remains unclear. That’s why, for most practitioners imaginary solutions are presented as unattainable or unimportant. However, the introduction of imaginary images into the practice of geometric modeling makes it possible to obtain solutions in an exhaustive manner, to develop unified algorithms for solving problems that were usually either not solvable or reduced to solutions in partial productions. The use of computer technologies and the paradigm of constructive geometric modeling make it possible to eliminate the acuteness of this problem and direct efforts both to improve the geometric theory and to introduce scientific achievements in this area to the field of practical applications. The means of automating a geometric experiment make it possible to find new regularities in seemingly well-known mathematical facts, to come to general understanding of geometric concepts and images.

The article is devoted to the analysis of some geometric schemes and to the discussion of some problems of the theory of curves of the second order constructing by the methods of geometrical synthesis. The article shows that the currently used definitions of the center of the second-order curve and the diameters of these curves contradict the principle of the indistinguishability of conics in projective geometry. The ways of eliminating these contradictions are proposed and on their basis a unified algorithm for constructing the foci of the second order curves is developed.

Ключевые слова: геометрическое моделирование; кривая второго порядка; коника; фокус; Симплекс.

Keywords: geometric modeling; curve of second-order; conic; foci; Simplex.

Принципы определения фокальных точек кривых второго порядка освещены в научной и педагогической литературе столь широко и подробно, что попытка отыскать в этом вопросе что-то новое и значимое может вызвать у читающего эти строки глубокое удивление и недоумение [1–3, 5, 12, 13, 15–20, 21–30]. И все же статья, представляемая на суд читателей, призывает обратить внимание на, казалось бы, хорошо известные факты и устоявшиеся представления с несколько иной точки зрения, нежели это принято делать в математической литературе. Рассуждения предполагается проводить без использования аналитического аппарата математики с опорой на конструктивно-геометрические свойства исследуемых образов и их свойств. Эти рассуждения, основывающиеся на аппарате проективной геометрии, позволят вскрыть ряд противоречий в ныне существующих определениях, относящихся к кривым второго порядка, а их устранение предоставит возможность разработать единый подход к построению некоторых геометрических образов, инициируемых кривыми второго порядка, и дать им общее конструктивное обоснование. Как известно, аффинная геометрия, не оперирующая понятием бесконечности, различает несколько видов кривых второго порядка, среди которых в дальнейшем нас будут интересовать, в особенности, эллипс и гипербола. С точки зрения проективной геометрии кривые второго порядка не различаются, вследствие чего алгоритмы получения тех или иных образов, ассоциированных с понятием конического сечения, также не различаются. Тем более удивительным становится тот факт, что вопросы геометрического обоснования таких образов как фокальные точки коник, в проективной геометрии остались без должного внимания, а известные схемы построения этих точек трактуются исходя из метрических соображений и разнятся для эллипсов и гипербол. Такое положение дел нельзя называть удовлетворительным, в особенности, если неполные, а иногда и противоречивые теоретические положения закладываются в основу средств автоматизации процедур геометрического моделирования, поскольку на практике это приводит к нарушению системности и стабильности работы этих средств. Именно такое положение сложилось с интерпретацией кривых второго порядка при разработке системы Симплекс [10], предназначенной для синтеза конструктивных геометрических моделей не только с привлечением аппарата проективной геометрии, но и оперирующей с мнимыми образами, которые неизбежно в этой геометрии возникают. Многочисленные эксперименты и анализ получаемых геометрических схем, проведенные с помощью этой системы [7–9], позволили сделать вывод о том, что некоторые определения, связанные с трактовкой кривых второго порядка, положенные в основу геометрической теории, некорректны. В частности, неверно трактуется понятие центра кривой второго порядка и отсутствие у эллипса второго главного диаметра. Переосмысление этого геометрического феномена и принятие за основу определений в новой трактовке позволяют выработать единый подход к решению задач с участием кривых второго порядка и унифицировать связанные с этими задачами функции системы геометрического моделирования. Обычно под центром кривой второго порядка понимают полюс, в индуцируемом этой кривой полярном преобразовании бесконечно удаленной прямой, принимаемой за поляру [20]. Это определение в равной степени применяется для отыскания центров невырожденных кривых второго порядка: как эллипсов и окружностей, так и гипербол в аффинной трактовке. Как известно, любое коллинеарное преобразование, определенное в плоскости, переводит точку в точку, прямую линию в прямую линию и конику в конику. При этом свойство инцидентности объектов-оригиналов и их образов сохраняется, а метрические свойства объектов, в общем случае, нет. В соответствии с используемым определением центра кривой второго порядка, опять же в общем случае, в коллинеарном преобразовании центр кривой-оригинала не переходит в центр кривой-образа. Поставим перед собой задачу в обратной постановке: допустим, на плоскости имеются две коники $a$ и $b$ . Требуется подобрать такую коллинеацию $\chi$ , которая не только бы переводила конику $a$ в конику $b$ , но и устанавливала бы соответствие между главными диаметрами этих коник. Рассмотрим вначале эту задачу, исходя из предположения, что обе коники – эллипсы. Поскольку эллипсы имею два главных диаметра, то не составит никакого труда найти точки пересечения соответственных диаметров с эллипсами: $P_1$ , $Q_1$ , $R_1$ и $S_1$ для первого эллипса и $P_2$ , $Q_2$ , $R_2$ и $S_2$ . Коллинеарное преобразование $$\chi |\begin{array}{c}{P}_1,Q_1,R_1,S_1\\ P_2,Q_2,R_2,S_2\end{array}$$ обеспечивает не только перевод коники $a$ в конику $b$ , но и соответствие в коллинеации $\chi$ точек $O_1=P_1{Q}_1\times R_1{S}_1$ и $O_2=P_2{Q}_2\times R_2{S}_2$ , т.е. $Q_1=\chi \left(Q_2\right)$ . Такое преобразование частного вида переводит центр одного эллипса в центр другого (рис. 1).

Рис. 1. Коллинеарное преобразование, переводящее эллипс в другой эллипс с сохранением соответствия главных диаметров эллипсов

Теперь выполним аналогичную процедуру, но с той лишь разницей, что соответствие будем устанавливать между гиперболой $a$ и эллипсом $b$ . На этом этапе возникает первая сложность: общеизвестно, что гипербола имеет только один действительный главный диаметр. Второй дополнительный диаметр, обычно называемый «мнимым», несмотря на то, что он проходит через центр и представлен действительной прямой, пересекает гиперболу в двух мнимых комплексно-сопряженных точках и попытка установить коллинеацию, подобную той, что была рассмотрена выше, конику $a$ в конику $b$ не переведет. Однако отсутствие второго действительного диаметра у гиперболы легко восполнить, отказавшись от аффинных представлений о решаемой задачи и перейдя к понятиям проективной геометрии. Сделаем предположение о том, что вторым диаметром гиперболы является бесконечно удаленная прямая и проверим, не противоречит ли данное предположение каким-либо другим свойствам кривых второго порядка. Первое, что следует отметить, что этот диаметр является действительным, а не «мнимым», который по обыкновению приписывают гиперболе. Второе и исключительно важное для решения поставленной задачи свойство: коника дважды пересекает бесконечно удаленную прямую в различных бесконечно удаленных точках, что и должно иметь место на диаметре коники. Таким образом, сделав это предположение, получаем четыре точки на конике: две собственные $P_1$ , $Q_1$ от единственного собственного диаметра гиперболы и две несобственные точки плоскости $R_1^{\infty }$ , $S_1^{\infty }$ от несобственного диаметра коники. Установим коллинеацию $\chi |\begin{array}{c}{P}_1,Q_1,R_1^{\infty },S_1^{\infty }\\ P_2,Q_2,R_2,S_2\end{array}$ . В этой коллинеации гипербола $a$ полностью перейдет в эллипс $b$ , причем $P_2{Q}_2=\chi \left(P_1{Q}_1\right)$ и $R_2{S}_2=\chi \left(R_1^{\infty }{S}_1^{\infty }\right)$ . Следует обратить внимание на то, что в данной коллинеации точке $O_2=P_2{Q}_2\times R_2{S}_2$ соответствует несобственная точка $O_1^{\infty }=P_1{Q}_1\times R_1^{\infty }{S}_1^{\infty }$ , то есть центру эллипса $b$ не-центр гиперболы $a$ (рис. 2). Кажущееся противоречие, однако, оказывается вполне конструктивным.

Рис. 2. Коллинеарное преобразование, переводящее эллипс в другой эллипс с сохранением соответствия главных диаметров эллипсов

Определим обратную коллинеацию ${\chi }^{-1}|\begin{array}{c}{P}_2,Q_2,R_2,S_2\\ P_1,Q_1,R_1^{\infty },S_1^{\infty }\end{array}$