Построение линий пересечения поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную замкнутую кривую или ломаную линию, которая при взаимном смещении поверхностей может распадаться на две (или несколько) самостоятельных линий. Форма линии пересечения в целом и отдельных ее участков зависит от вида пересекающихся поверхностей и их взаимного расположения.

Любая линия пересечения поверхностей представляет собой совокупность точек, принадлежащих заданным поверхностям.

Для построения таких точек обычно пользуются способом вспомогательных секущих поверхностей, который заключается в следующем;

1) проводят вспомогательную поверхность s (посредник);

2) находят линии пересечения a и b вспомогательной поверхности s с каждой из заданных a и b;

3) при пересечении одноименных проекции полученных линий пересечения a и b отмечают проекцию K_i точки К, общей для заданных поверхностей. Другую проекцию точки К определяют в проекционной связи из условия ее принадлежности линии a (или b).

Многократное повторение указанного алгоритма дает возможность получить достаточное количество точек, определяющих искомую линию пересечения.

В качестве вспомогательных секущих поверхностей выбирают такие, которые в пересечении с заданными поверхностями давали бы наиболее простые фигуры; прямые линии, треугольники, параллелограммы, окружности.

В зависимости от вида вспомогательных поверхностей, которые используют в качестве посредника, различают следующие способы построения линии пересечения поверхностей:

1) способ вспомогательных проецирующих плоскостей;

2) способ вспомогательных плоскостей общего положения;

3) способ вспомогательных сферических поверхностей.

Вспомогательные проецирующие плоскости применяют в тех случаях, когда они в пересечении с заданными поверхностями образуют простейшие фигуры.

Вспомогательные плоскости общего положения применяют при построении линии пересечения в тех случаях, когда применение проецирующих плоскостей приводит к построению сложных кривых линий (эллипсов, гипербол, парабол .......). Этот способ применяют при построении линии пересечения конических и цилиндрических поверхностей.

Вспомогательные сферические поверхности применяют при построении линии пересечения поверхностей вращения оси которых пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций.

При построении линии пересечения произвольной поверхности с конической или цилиндрической поверхностями можно применять метод дополнительного центрального или параллельного проецирования.

В этом случае в третьем дополнительном поле проекция искомой линии пересечения совпадает с вырожденным изображением конической или цилиндрической поверхности и находится в пределах проекций очерковых линий. Другая проекция линии пересечения определится из условия ее принадлежности поверхности, занимающей общее положение.

Среди точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, следует выделять так называемые опорные (или характерные) точки, это точки, принадлежащие очерковым образующим поверхностей и промежуточные (или произвольные) точки.

Вне зависимости от способа построения точек, общих для пересекающихся поверхностей, сначала строят характерные точки, которые являются границами смены видимости и определяют предельные положения проекций линии пересечения, затем находят промежуточные точки, определяющие характер кривизны участков линии пересечения между характерными точками. перекрытия очерковых линии поверхностей и никогда не выходит за их пределы.

Определение видимости линии пересечения производят отдельно для каждого участка, ограниченного точками смены видимости. При этом на любой проекции видимость всего участка совпадает с видимостью произвольной точки, принадлежащей линии в пределах этого участка.

В качестве пересекающихся поверхностей могут быть многогранники и различные виды геометрических фигур, ограниченных криволинейными поверхностями.

На конкретных примерах рассмотрены основные приемы и способы построения линии пересечения поверхностей.

Следующая тема: Пересечение плоскостей, занимающих общее положение