Метод экцентрических сфер

Эксцентрические сферы применяются в качестве вспомогательных секущих поверхностей для определения линий пересечения поверхностей, каждая из которых несет на себе семейство параллельных окружностей и имеющих общую плоскость симметрии.

Заданы две поверхности – конус a и тор s. Через ось тора i проведем плоскость b так, чтобы она пересекла область взаимного пересечения поверхностей a и s. Рассекая поверхность тора, плоскость b образует на его поверхности окружность a₁, вырожденную в первом поле в отрезок прямой линии, диаметр которой определяется точками очерковых образующих тора 1₁ и 2₁. Окружность a₁ инцидентна с поверхностью тора s. В то же время она является линией, общей для множества вписанных в нее сфер {g}.

Первые проекции центров сфер этого множества находятся на линии l₁, которая в свою очередь является серединным перпендикуляром к линии a₁. Для построения l₁ необходимо найти точку C₁ – середину отрезка a₁ и восстановить в ней перпендикуляр к a₁.

Из всего множества сфер {g} необходимо выбрать такую сферу g, которая в пересечении с поверхностью конуса a образовала бы окружность. Сфера как поверхность пересекается с конусом по окружности в том случае, если центр сферы находится на оси конуса, поэтому для нахождения центра O₁ сферы g необходимо пересечь линию l₁ с осью j₁ конуса a. В этом случае очерк сферы высекает на очерке конуса точки 3₁ и 4₁, которые определяют вырожденную проекцию окружности b₁. Поскольку окружности a₁ и b₁ инцидентны одной и той же сфере g, то они могут пересекаться. В частности, при заданном положении плоскости b a₁ и b₁ пересекаются в P₁. Поскольку P₁ инцидентна a₁ то она инцидентна и поверхности тора s, следовательно вторую проекцию точки P следует искать как недостающую проекцию точки, принадлежащую поверхности тора.

Для построения линии пересечения поверхностей a и s следует выполнить аналогичные построения для различных положений секущих плоскостей b. Так, например, для плоскости b в положении b’ найдем точки ее пересечения с очерком тора 5₁ и 6₁. Эти точки являются диаметральными на окружности a'₁, вырожденной в первом поле в отрезок прямой линни. Серединный перпендикуляр l’₁, восстановленный в точке C’₁ пересечется с осью j₁ конуса a в точке O’₁. Важно заметить, что положение точек O₁ и O’₁ не совпадают, чем и объясняется название метода эксцентрических сфер. Сфера g’, с центром O’₁ и вписанная в a'₁, пересекается с очерком конуса в точках 7₁ и 8₁, которые определяют на поверхности конуса окружность b’₁. Пересечение окружностей a'₁ и b’₁, инцидентных общей сфере, образует точку P’₁ (P’’₁).

Поскольку точка P’₁ инцидентна поверхности тора, то через нее можно провести окружности n’₁ (n’’₁), с центром в вырожденной проекции оси тора i1. Точки пересечения этой окружности с торцевым очерком тора 9₁ и 10₁ используются для построении соответственных им проекций во втором поле 9₂ и 10₂. Две вторые проекции P’₂ P’’₂, соответствующие P’₁ строятся на линии связи, исходящей из P’₁ на вырожденных вторых проекциях окружностей n’₂ (n’’₂).

Окончательно линия пересечения тора и конуса m строится путем соединения плавной кривой полученных точек. Необходимо отметить, что в зависимости от размеров и взаимного расположения поверхностей a и s эта линия может распадаться на несколько ветвей.

Следующая тема: Построение дополнительного поля проекций. Алгоритм Гаука