Построение разверток пирамидальных и конических поверхностей

Построение разверток пирамидальных и конических поверхностей обычно сводится к многократному построению натуральной величины треугольников какими являются боковые грани пирамиды. При построении развертки конической поверхности ее заменяют вписанной в нее n-гранной пирамидальной поверхностью. Такой метод построения разверток пирамидальной и конической поверхностей называется методом треугольников (методом трангуляции). Его применение показано на примере развертки пирамиды АВСТ.

Основание АВС пирамиды принадлежит плоскости проекций, поэтому его вторая проекция А₂В₂С₂ изображается в натуральную величину. Для построения развертки боковой поверхности пирамиды определяют натуральную длину ребер АТ, ВТ и СТ способом вращения вокруг оси i, проведенной через вершину Т пирамиды до положения фронталей. Имея натуральные длины сторон основания и боковых ребер, строят треугольники А₀В₀Т₀, А₀В₀С₀, В₀С₀Т₀, С₀А₀Т₀, которые в совокупности представляют собой развертку поверхности пирамиды АВСТ. Если требуется нанести на развертке контур сечения 1, 2, 3 пирамиды проецирующей плоскостью a, то в процессе определения истинной длины ребер методом вращения находят на них положение точек 1₁, 2₁, 3₁. Затем отрезки А₁1₁, В₁2₁, С₁3₁, откладывают на соответствующих ребрах развертки, строят точки треугольника сечения 1₀, 2₀, 3₀. Соединив эти точки отрезками прямых линий, получают развертку линии сечения 1₀2₀3₀1₀. На одном из этих отрезков, например на отрезке 1₀2₀, строят треугольник сечения 1₀2₀3₀.

Конические поверхности являются развертывающимися и теоретически имеют точные развертки, однако практически, пользуясь методом треугольников, сроят их приближенные развертки. Для этого заменяют коническую поверхность вписанной в нее поверхность n-гранной пирамиды.

На рисунке показано построение развертки боковой поверхности эллиптического конуса с круговым основанием. С этой целью окружность основания конуса делят на n равных частей. На рисунке окружность разделена на шесть равных частей, что соответствует замене конической поверхности поверхностью вписанной в нее шестигранной пирамиды. Методом вращения вокруг оси i^p₂ определяют натуральную длину образующих, проведенных из вершины Т в точки деления окружности основания. Затем строят развертку, состоящую из шести примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной Т₀, см. рисунок. Каждый из этих треугольников строят по трем сторонам, две из которых есть натуральные длины образующих, а третья - равна хорде, проведенной между смежными точками деления основания конуса.

Соединив точки 1₀, 2₀, 3₀, ... плавной кривой линией f₀ и присоединив к ней окружность f₀ основания, получают полную развертку конической поверхности. Для повышения точности построения развертки конуса увеличивают число граней вписанной в него пирамиды.

Следующая тема: Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей