НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЕСТЬ ЛИ У НЕЕ БУДУЩЕЕ В ВУЗЕ?
Д.В.ВОЛОШИНОВ
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (Санкт-Петербург)
denis.voloshinov@yandex.ru

Аннотация

При использовании обычных инструментальных средств для решения геометрических задач, получение и анализ результатов, в которых фигурируют мнимые геометрические образы, затруднительны. Несмотря на признание правомерности и научной ценности мнимых решений, присутствующих в геометрических конструкциях, до сих пор не вполне ясным остается вопрос о целесообразности и практической исполнимости таких решений. В следствие этого, для большинства специалистов-практиков мнимые решения представляются как нечто недостижимое или неважное. Однако внедрение мнимостей в практику геометрического моделирования позволяет получать решения в исчерпывающей полноте, разрабатывать единые алгоритмы решения задач, которые обычно представлялись либо не решаемыми, либо сводились к решениям в частных постановках. Использование компьютерных технологий и парадигмы конструктивного геометрического моделирования позволяют снять остроту этой проблемы и направить усилия как на совершенствования геометрической теории, так и на внедрение научных достижений в обозначенной области в область практических применений. Средства автоматизации геометрического эксперимента позволяют найти в, казалось бы, в давно известных математических фактах новые закономерности, прийти к более общему пониманию геометрических понятий и образов.

Статья посвящена анализу некоторых геометрических схем и обсуждению возникающих в этой связи вопросов теории построения кривых второго порядка методами конструктивного синтеза. В статье показано, что используемые в настоящее время определения центра кривой второго порядка и диаметров этих кривых вступают в противоречие с принципом неразличимости коник в проективной геометрии. Предложены пути устранения этих противоречий и на их основе разработан унифицированный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка.

Ключевые слова: геометрическое моделирование; кривая второго порядка; коника; фокус; Симплекс.

Keywords: geometric modeling; curve of second-order; conic; foci; Simplex.

Дискуссии, в которых поднимается вопрос о целесообразности преподавания студентам методов начертательной геометрии, разгораются в среде преподавателей высшей школы в последние годы все чаще и чаще. С нарастающей силой озвучивается мысль о том, что начертательная геометрия как наук а потерпела окончательное историческое поражение перед всецело заменившей ее геометрией аналитической. Убежденность сторонников этой идеи в ее истинности подкрепляется тем фактом, что современные компьютеризированные технологии проектирования формы промышленных изделий основываются на парадигме, не оставляющей места методам начертательной геометрии: так называемом твердотельном 3D-моделировании.

Естественно, возникают справедливые вопросы: не является ли изучение начертательной геометрии студентами многих технических и некоторых творческих специальностей напрасной тратой драгоценного учебного времени? Будет или не будет нанесен какой-либо ущерб интеллектуальному потенциалу страны, если официально признать эту дисциплину ненужной и полностью отказаться от ее преподавания, переключив все усилия исключительно на выработку у студентов «объемного» мышления в применении к задачам проектирования формы? Окончательно ли использован потенциал этой науки, или же мы находимся под властью складывавшихся годами традиций и догм и чего-то важного не замечаем?

Реалии сегодняшнего дня таковы, что специалисты, так или иначе связанные с преподаванием цикла инженерно-графических дисциплин, разделились на два лагеря: сторонников и противников преподавания начертательной геометрии. Обе стороны приводят множество аргументов и доводов в защиту своих позиций. Дискуссия, которая имела место в материалах конференции КГП 2010, и, возможно, в той или иной форме состоится на конференции нынешней, – лишний раз тому подтверждение.

Фактически, все мы являемся свидетелями определенного интеллектуального кризиса в геометрической науке. Сложность выработки позиции заключается, в частности, в том, что, являясь работниками ВУЗов, все мы должны соблюдать регламентацию государственных образовательных стандартов, а они зачастую оставляют мало простора для свободного полета мысли. Мое повествование вынужденно выходит за рамки действующих стандартов. Иначе трудно говорить о повышении культуры геометрографической подготовки, теряется смысл в стремлении к инновациям любого рода, невозможна модернизация экономики, к которой так настойчиво призывает руководство страны. И, как это уже бывало в истории, может получиться так, что упущенную идею подхватит кто-то другой, и мы опять будем вынуждены «догонять» и сетовать на то, что не мы первые. Безусловно, путь, по которому идет каждый из нас, тернист. Каждое найденное положительное решение – ценность, заслуживающая внимания и уважительного отношения. Поэтому мне как автору данной статьи не хотелось бы, чтобы излагаемые мною соображения рассматривались как истина в последней инстанции или как некое назидание кому бы то ни было.

Заявленная тема сложна, неоднозначна и, быть может, даже неблагодарна. И все же чувство необходимости поделиться своими мыслями берет верх, ибо для кого-то из читателей они могут показаться неожиданными и, надеюсь, полезными. Возможно, некоторые из приводимых фактов будут казаться тривиальными, а некоторые, наоборот, непонятными, но без них вряд ли сможет сформироваться маломальски целостная картина происходящего и, возможно, перспектив будущего. И, конечно же, я далек от той мысли, что в рамках краткого изложения удастся найти «волшебную таблетку», которая разом разрешит все противоречия и прольет свет на то, каким образом всем нам жить дальше. Итак, почему же начертательная геометрия удостоилась столь неблагодарной участи – быть объявленной многими учеными мужами устаревшим учением, ненужным знанием? Чем же она настолько «хуже» других наук, что ей более не место в ВУЗе?

Начертательная геометрия – обширный раздел конструктивной геометрии. Как и любой другой науке, ей присущи свои предмет и метод. И, если предмет этой науки в некоторой степени может совпадать с предметом других наук (описание объектов и процессов окружающей действительности), то метод ее уникален и состоит, если постараться выразиться совсем кратко, в конструктивном определении взаимной инцидентности пространств различных структур и размерностей, реализованном в виде комплекса геометрических построений.

Попробуем, насколько это возможно в рамках короткой статьи, определить различие между синтетическим (геометрическим) и аналитическим подходах к решению задач моделирования пространства. Начнем с первого.

Представим один из возможных способов формирования пространства в виде последовательности действий.

1. Укажем некоторый элемент, о свойствах которого будем утверждать, что он не может содержать в себе других элементов, и установим признак, позволяющий отличить такой элемент от возможных элементов иного рода. Естественно обозначить этот признак числом, например, нулем, учитывая тот факт, что указанное число в должной мере характеризует приведенное свойство элемента.

2. Сформируем множество $\left\{R^0\right\}$ из объявленных элементов, что будет означать существование некоторой процедуры, позволяющей осуществить различение элементов этого множества. Процедура принимается как некоторая данность, действие которой проявляется в возможности идентификации любого элемента из множества $\left\{R^0\right\}$ по заранее установленному набору характеризующих параметров. Набор параметров зафиксируем числом $n$ .

Величина $n$ как числовая характеристика набора параметров, выделяющих элемент множества, имеет отношение не только ко всему множеству, но и к его отдельному элементу. В первом случае характеризуется «вместимость» (мощность) множества, во втором – информационные затраты на индивидуальный выбор его элемента. Само множество элементов с признаком «ноль» получает название пространство, а элемент пространства – название точка. При этом число $n$ именуется размерностью или информационным индексом в зависимости от того, какой объект оно характеризует – пространство или его элемент.

3. Установим структуру пространства как набора элементов разного рода. Другими словами, определим способ синтеза новых, отличных от точки, форм на основе элементов изначального множества и некоторых предварительно заданных процедур.

Моделируя окружающую нас действительность и исключая из рассмотрения несущественные для дела признаки, мы вынуждены прибегать к парному сопоставлению множеств, имеющих различную размерность. Наглядным примером тому может служить, например, процесс получения геометрической информации о трехмерном физическом пространстве на основе фотографического изображения или рисунка, выполненного архитектором. Аналогичная ситуация возникает, когда в пространстве параметров некоторого многофакторного процесса часть параметров недоступна для измерения или же не играет существенной роли в данном конкретном рассуждении. Эти и другие обстоятельства приводят к необходимости иметь способ парной расстановки элементов неравномощных множеств, т.е. осуществить преобразование одного пространства в другое при неравенстве их размерностей. Операцией, выполняющей такое сопоставление, является всем известная операция проецирования, проистекающая из общефилософского принципа проекционного схематизма [1]. Для ее реализации в пространстве должен быть установлен аппарат проецирования, представляемый центром проецирования и картинным пространством, на которое осуществляется отображение прочих элементов множеств. Операция проецирования в свою очередь сводится к двум элементарным процедурам: соединению проецируемого образа с центральным с целью получения проецирующего луча, и последующему пересечению этого луча с картинным пространством. Результатом выполнения операции будут либо геометрический образ в поле картины, либо индуцируемое реализованной геометрической схемой многосвязное отношение. Понятно, что операция проецирования, выполняющая сопоставление множеств, имеет информационный характер. Ее действие можно легко интерпретировать как работу некоторого абстрактного вычислительного устройства, получившего в литературе название геометрической машины, доставляющей информацию [2, 3].

Для изоморфного моделирования пространства, как правило, недостаточно выполнения единственной операции проецирования. Хорошо известный метод двух изображений, частным случаем которого является эпюр Монжа, – это конструктивная геометрическая модель, в которой аппарат проецирования удвоен, в качестве центров проецирования выбраны точечные объекты $S_1$ и $S_2$ , а в качестве картинных пространств взяты две несовпадающие плоскости $O_{xy}$ и $O_{xz}$ (рис. 1). (В эпюре Монжа центры бесконечно удалены и расположены ортогонально по отношению к двум взаимно ортогональным плоскостям проекций). В литературе такая модель получила обозначение $G_{\mathrm{2,2}}^3$ , то есть модель трехмерного пространства, представленная в двух плоских полях. Именно этой так называемой дискретно-непрерывной моделью долгие годы человечеству удавалось столь успешно пользоваться для выполнения любых проектно-конструкторских работ. Теперь же ее критикуют за архаичность и «несовершенство» и апеллируют к геометрии аналитической, то есть к понятию числа.

Возникает естественное желание выяснить, чем же тогда является аналитическая модель трехмерного пространства, есть ли между нею и моделью, которую принято называть геометрической, нечто общее или же они качественно и непреодолимо отличаются друг от друга?

Отвечая на этот вопрос, попытаемся построить новую конструктивную схему, моделирующую трехмерное пространство. Для этого произвольным образом в пространстве выделим три центральные прямые ( $s_1$ , $s_2$ и $s_3$ ) и три несовпадающие картинные прямые – числовые оси ( $O_x$ , $O_y$ , $O_z$ ). Выберем в пространстве точку $A$ и найдем ее образы на картинных прямых по следующей схеме: соединим точку $A$ и первую центральную прямую $s_1$ плоскостью $s_{1}A$ , а затем пересечем полученную плоскость с первой картинной прямой $O_x$ . Подобную операцию повторим с соответственными оставшимися центрами и картинными прямыми. В результате на картинных прямых получим три точки $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , однозначно моделирующие исходную точку трехмерного пространства. Не составит никакого труда убедиться в том, что полученная модель в целом изоморфна. По аналогии с предыдущей, построенную модель можно обозначить символом $G_{\mathrm{1,3}}^3$ , что означает «дискретно-непрерывная модель трехмерного пространства, представленная в трех линейных полях», и назвать методом трех изображений. Понятно, что данную проективную схему можно легко преобразовать в метрически-определимую конструкцию (изображена на рисунке). Но ведь тогда это и есть способ моделирования объектов трехмерного пространства средствами аналитической геометрии! И именно такая «расчлененная» модель служит основой для формирования структур данных и выполнения преобразований для оперирования с формой в системах 3D геометрии.

Рис. 1. Конструктивные схемы образования основных однородных дискретно-непрерывных моделей трехмерного пространства

Вывод напрашивается сам собой. Между моделями, вообще говоря, нет существенной разницы: они транзитивны. Можно только посетовать, что вторая модель несколько сложнее. Действительно, если в плоских картинах можно легко различать как точечные, так и линейные объекты, то на картинах, представленных прямыми линиями, без труда удается различать разве что точки. Объекты же более сложной природы будут выражены многосвязными отношениями, и н