КОНСТРУКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА КАК ОСНОВА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЗОНИРОВАНИЯ И ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ФАКТОРОВ

онцентрические в парах) окружности

a

b

c

. Найдем центры этих окружностей

C a_{⊙ a}

C b_{⊙ b}

C c_{⊙ c}

. Построим треугольник, взяв полученные точки за вершины. В предположении, что стороны треугольника

a b = C b \circ C a

a c = C c \circ C a

b c = C c \circ C b

являются бесконечными прямыми, пересечем стороны с окружностями, через центры которых они проходят:

A_{1}, A_{2} = a b \times a

B_{1}, B_{2} = a b \times b

C_{1}, C_{2} = a c \times a

D_{1}, D_{2} = a c \times c

E_{1}, E_{2} = b c \times b

F_{1}, F_{2} = b c \times c

. Определим на прямых три инволюции [14, 16]:

η_{1} | \begin{matrix} a b; A_{1}; B_{1} \\ a b; A_{2}; B_{2} \end{matrix}

η_{2} | \begin{matrix} a c; C_{1}; D_{1} \\ a c; C_{2}; D_{2} \end{matrix}

η_{3} | \begin{matrix} b c; E_{1}; F_{1} \\ b c; E_{2}; F_{2} \end{matrix}

. Найдем двойные точки инволюций

U_{1}, U_{2} = \overset{2}{η_{1}}

;

V_{1}, V_{2} = \overset{2}{η_{2}}

;

W_{1}, W_{2} = \overset{2}{η_{3}}

. Выбрав любые три точки из полученных шести, построим на них окружность

d = U_{1} \circ V_{1} \circ W_{1}

. Окружность

d

является ортогональной к исходным окружностям

a

b

c

. Воспользуемся теперь следующими инволюциями, определенными точками пересечения окружностей с соответственными сторонами треугольника. Определим их:

ζ_{1} | \begin{matrix} a b; A_{1}; A_{2} \\ a b; B_{2}; B_{1} \end{matrix}

ξ_{1} | \begin{matrix} a b; A_{1}; A_{2} \\ a b; B_{1}; B_{2} \end{matrix}

ζ_{2} | \begin{matrix} a c; C_{1}; C_{2} \\ a c; D_{2}; D_{1} \end{matrix}

ξ_{2} | \begin{matrix} a c; C_{1}; C_{2} \\ a c; D_{1}; D_{2} \end{matrix}

ζ_{3} | \begin{matrix} b c; E_{1}; E_{2} \\ b c; F_{2}; F_{1} \end{matrix}

ξ_{3} | \begin{matrix} b c; E_{1}; E_{2} \\ b c; F_{1}; F_{2} \end{matrix}

. Построим двойные точки инволюций:

G_{1}, G_{2} = \overset{2}{ζ_{1}}

H_{1}, H_{2} = \overset{2}{ξ_{1}}

I_{1}, I_{2} = \overset{2}{ζ_{2}}

J_{1}, J_{2} = \overset{2}{ξ_{2}}

K_{1}, K_{2} = \overset{2}{ζ_{3}}

L_{1}, L_{2} = \overset{2}{ξ_{3}}

. Каждая пара двойных точек, взятых как диаметральные, задает окружности (вещественные и/или мнимые):

g = G_{1} \circ G_{2}

h = H_{1} \circ H_{2}

i = I_{1} \circ I_{2}

j = J_{1} \circ J_{2}

k = K_{1} \circ K_{2}

l = L_{1} \circ L_{2}

. Найдем центры полученных окружностей:

C g_{⊙ g}

C h_{⊙ h}

C i_{⊙ i}

C j_{⊙ j}

C k_{⊙ k}

C l_{⊙ l}

. На этих точках построим четыре оси подобия окружностей:

g i k = C g \circ C i \circ C k

h j k = C h \circ C j \circ C k

h l i = C h \circ C l \circ C i

g l j = C g \circ C l \circ C j

. Продемонстрируем действие алгоритма построения пары окружностей, касательных к заданным окружностям

a

b

c

на примере использования оси подобия

g i k

. Остальные решения могут быть легко получены заменой оси подобия

g i k

на необходимую. Будем считать ось подобия

g i k

окружностью бесконечно большого радиуса. Проведем три окружности перпендикулярно к

g i k

d

и каждой из исходных окружностей

a

b

c

○ r

r ⊥ g i k

r ⊥ d

r ⊥ a

;

○ s

s ⊥ g i k

s ⊥ d

s ⊥ b

;

○ t

t ⊥ g i k

t ⊥ d

t ⊥ c

. Найдем точки пересечения полученных окружностей с соответствующими им исходными окружностями:

R_{1}, R_{2} = a \times r

S_{1}, S_{2} = b \times s

T_{1}, T_{2} = t \times c

. Соединив полученные точки, получаем искомые окружности

e_{1} = R_{1} \circ S_{1} \circ T_{1}

e_{2} = R_{2} \circ S_{2} \circ T_{2}

(рис. 1). Порядок выбора точек требует некоторых пояснений. Окружность

d

является окружностью инверсии для только что построенных окружностей

e_{1}

e_{2}

. Центр этой окружности является радикальным центром системы окружностей

a

b

c

. Пары точек

R_{1} - R_{2}

T_{1} - T_{2}

S_{1} - S_{2}

расположены на прямых, проходящих через радикальный центр и разделяются окружностью

d

. Вследствие этого, перечисленные точки могут быть упорядочены, и точкам, находящимся в единой области, разграниченной окружностью

d

, должен быть предписан одноименный индекс. Тогда соединение точек в окружность подчинено следующему правилу: если центры сопрягаемых окружностей находятся в общей полуплоскости, разграниченной осью подобия окружностей, то окружности сопряжения проходят через точки с одноименными индексами. Если какая-либо из окружностей имеет центр, расположенный в противоположной полуплоскости, то индекс точки, через которую проходит сопрягаемая окружность, противоположен индексам точек, соответствующих окружностям противоположной полуплоскости.

Аннотация

Abstracts

Список используемых источников